新课引入 前面我们讲述了两类曲线积分： 孤长曲线积分（第一类) 坐标曲线积分（第二类)。 同样我们也要讲述两类曲面积分： 对面积的曲面积分（第一类) 对坐标的曲面积分（第二类)。 上一节我们讲述了对面积的曲面积分， 这一节我们就来讲对坐标的曲面积分。 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 新课引入 前面我们讲述了两类曲线积分： 弧长曲线积分（第一类） 坐标曲线积分（第二类）。 上一节我们讲述了对面积的曲面积分， 这一节我们就来讲对坐标的曲面积分。 同样我们也要讲述两类曲面积分： 对面积的曲面积分（第一类） 对坐标的曲面积分（第二类）
第九章 第五节对坐标的曲面积分 Surface integral of coordinate) 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算 三、两类曲面积分之间的联系 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 第五节 对坐标的曲面积分 第九章 （Surface integral of coordinate) 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算 三、两类曲面积分之间的联系 四、小结与思考练习
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.有向曲面及其在坐标面上的投影概念 观察以下曲面的侧（假设曲面是光滑的） 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 以后如未作特别说明，我们所讨论的曲面都是双侧的. 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 有向曲面及其在坐标面上的投影概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 ) 曲面分 上侧和 下 侧 曲面分 内侧和 外 侧 以后如未作特别说明，我们所讨论的曲面都是双侧的
曲面法向量的指向决定曲面的侧。 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题：在有向曲面公上取一小块△S 假定AS在xOy面的投影（△S)w为 (△o),c0sy>0 cosy =0 其中（△o)m为投影区域的面积。 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 曲面法向量的指向决定曲面的 侧 . 决定了侧的曲面称为有向曲面 . 曲面的投影问题 : 在有向曲面 Σ 上取一小块 Δ S 假定 Δ S 在 xOy 面的投影( ) xy Δ S 为 ( ) cos 0 ( ) ( ) cos 0 0 cos 0 xy xy xy S σ γ σ γ γ ⎧ Δ > ⎪ Δ = −Δ < ⎨ ⎪ ⎩ = ， ， ， 其中( ) Δ σ xy 为投影区域的面积
2.流向曲面一侧的流量计算 (1)流速场为常向量立，有向平面区域A,求单位时间流 过A的流体的质量Φ（假定密度为1） 流量 Φ=Acos0 =Av.n=v.A 2009年7月27日星期一 5 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 2. 流向曲面一侧的流量计算 （ 1 ） 流速场为常向量 v G，有向平面区域 A ,求单位时间流 过 A 的流体的质量 Φ (假定密度为 1). A v G 0 n G θ A 0 A v cos Avn vA Φ = θ = ⋅ =⋅ K K K K K 流量
(2)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1） 的速度场由 V(x,y,=)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 给出，∑是速度场中的一片有向曲面，函数 P(x,y,z),2(x,y,),R(x,y,z) 都在∑上连续，求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量Φ. 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 （ 2 ） 设稳定流动的不可压缩流体 (假定密度为 1) 的速度场由 vxyz Pxyzi Qxyz j Rxyzk (, ,) (, ,) (, ,) (, ,) =++ G G G G 给出， Σ 是速度场中的一片有向曲面 ,函数 xP y z xQ y z xR y z),(),(),( 都在 Σ 上连续, 求在单位 时间内流向 Σ 指定侧的流 体的质量 Φ . x y z o Σ
1.分割把曲面∑分成小块△s,(△s,同时也代表 第i小块曲面的面积)， 在△S,上任取一点 (5,7,5), (5,7,5) 则该点流速为 法向量为元 2009年7月27日星期一 7 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 x y z o Σ • ΔSi ),( iii ξ η ς i v G ni G 把曲面 Σ 分成 n小块 i Δ s ( i Δ s 同时也代 表 第 i小块曲面的面积), 在 i Δ s 上任取一点 ),(ξ η ζ iii , 1. 分割 则该点流速为 . i v G 法向量为 . ni G
立=(5,17,5) =P(5,7,5)i+(5,7,5)j+R(5,n,5)k, 该点处曲面Σ的单位法向量 =cosa,i+cos Bj+cosy,k, 通过△，流向指定侧的流量的近似值为 n△S;(i=1,2,n). 2.求和通过Σ流向指定侧的流量 ns 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 该点处曲面 Σ 的单位法向量 i i i ikjin G G G G cos α cos β cos γ 0 = + + , 通过 i Δ s 流向指定侧的流量的近似值为 niSnv ).,2,1( ⋅ Δ iii = " ,),(),(),( ),( QiP Rj k v v i i i i i i i i i i iii G G G G ζηξζηξζηξ ξ η ζ = + + = 2. 求和 通过 Σ 流向指定侧的流量 ∑= Δ⋅≈Φ n i Snv iii 1
=∑IP(5,5:)c0sa,+0(5,n,5,)c0sA, +R(5i,5:)cosY:lAS; =∑IP(5,n1,5)(△S):+2(5,n,5i△S)x i=1 +R(5,n,5)(△S) 3.取极限 入→0取极限得到流量Φ的精确值 Φ=1im∑IP(5,7,5AS;)e+2(5,7,5:)(AS,)x 2→01 +R(5,7,5i)(△S)xJ 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 i i i i i iii i n i iiii R S P Q + Δ = ∑ + = ]cos),( cos),(cos),([ 1 γζηξ βζηξαζηξ xyiiii yz xziiii n i iiii R S P QS S ))(,( ))(,())(,([ 1 + Δ = ∑ +Δ Δ = ζηξ ζηξ ζηξ 3.取极限 λ → 0 取极限得到流量 的精确值 Φ . ]))(,( ))(,())(,([lim 1 0 xyiiii yz xziiii n i iiii R S P QS S + Δ =Φ ∑ +Δ Δ = → ζηξ ζηξ ζηξ λ
3.对坐标的曲面积分的概念 定义1设∑为光滑的有向曲面，函数R(x,y,z)在 ∑上有界，把∑分成n块小曲面△S,(△S,同时又表示 第i块小曲面的面积)，△S,在x0y面上的投影为（△S)y, (5,7,5)是△S,上任意取定的一，点，如果当各小块曲 面的直径的最大值2→0时， R(5,n,5:aS)w存在， 则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面∑上对坐 标x,y的曲面积分（也称第二类曲面积分） 2009年7月27日星期一 10 目录 上页今 下页 、返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 3. 对坐标的曲面积分的概念 定义 1 设 Σ 为光滑的有向曲面 ,函数 R(,) xyz 在 Σ 上有界，把 Σ 分成 n块小曲面 ΔSi ( ΔSi同时又表示 第 i块小曲面的面积), ΔSi 在 xoy面上的投影为 Si xy Δ )( ， ),(ξ η ζ iii 是 ΔSi上任意取定的一点 ,如果当各小块曲 面的直径的最大值 λ → 0 时 , ∑= → Δ n i R Siiii xy 1 0 lim ,( ζηξ )( ) λ 存在, 则称此极限为函数 R x y z),( 在有向曲面 Σ 上对坐 标 x , y的曲面积分 (也称第二类曲面积分 )