新课引入 格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲 线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，也有同样 类似的结论，这就是高斯公式，它表达了空间区域上 三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。 斯托克斯公式是格林公式的推广.后者表达了平 面闭区域二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的 关系，而前者则表达了曲面积分与曲面边界曲线的曲 线积分之间的联系. 这节课我们就来学习高斯公式和斯托克斯公式！ 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 新课引入 格林公式 表达了平面区域上二重积分与其边界曲 线上的曲线积分之间的关系。而在空间上， 也有同样 类似的结论，这就是高斯公式，它表达了空间区域上 三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。 斯托克斯公式 是格林公式的推广.后者表达了平 面 闭 区 域二重积分与 其 边界曲线上的曲线积分之间的 关系，而前者则表达了曲面积分与曲面边界曲线的曲 线积分之间的联系. 这节课我们就来学习高斯公式 和斯托克斯公式！
第九章 第六节高斯公式斯托克斯公式 Gauss Formula and Stokes Formula) 一、高斯公式 二、斯托克斯公式 三、格林公式、高斯公式、 斯托克斯公式之间的关系 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 第六节 高斯公式 斯托克斯公式 第九章 （Gauss Formula and Stokes Formula) 一、高斯公式 二、斯托克斯公式 三、格林公式 ﹑高斯公式 ﹑ 斯托克斯公式之间的关系 四、小结与思考练习
一、高斯公式(Gauss Formula) 定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成， 函数P(x,y,z)、2(x,y,z)、R(x,y,z)在2上具有一阶连 续偏导数，则有公式 +-月P+0+ j 或P+e+那h=psa+QoB+Ros7as 这里∑是2的整个边界曲面的外侧cosa,cosB,c0sy是 ∑上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦. 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 一、高斯公式 (Gauss Formula) 定理 1 设空间闭区域 Ω由分片光滑的闭曲面 Σ 围成, 函数 P x y z),( 、 xQ y z),( 、 R x y z),( 在 Ω上具有一阶连 续偏导数, 则有公式 ∫∫∫ ∫∫ Ω ∑ ++= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 这里 ∑ 是 Ω的整个边界曲面的外侧cos α ,cos β ,cosγ 是 ∑上点 x y z),( 处的法向量的方向余弦 . dv RQP dS z R y Q x P ∫∫∫ ( ∫∫ () cos cos cos ) Ω ∑ = ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 或 γβα
证明：设闭区域2在面x0y上的投影区域为Dy ∑由∑，∑，和∑，三部分组成， ∑1：乙=z1(x,y)取下侧 ∑2：？=z,(x,y)取上侧 z4 ∑2：z=32(x,y) ∑？是以闭区域D的 边界曲线为准线，母线平 行于z轴的柱面上的一部 :z=(x,y) 分，取外侧. 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 证明：设闭区域 Ω在面xoy上的投影区域为 Dxy . Σ 由 Σ 1 , Σ 2 和 Σ 3三部分组成 , ),( :1 1 Σ z = z x y ),( :2 2 Σ z = z yx 取下侧 取上侧 Σ 3 是以闭区域 Dxy 的 边界曲线为准线，母线平 行于 z 轴的柱面上的一部 分，取外侧
根据三重积分的计算法 四-w器 ={R[x,y,zz(x,y)]-R[x,y,z(x,y)Bbdxdy. D 根据曲面积分的计算法 R(x,y,z)dxdy=-RIx,y,(x,y)ldxdy, j∬R(x,z)k=∬RIx,八a,(x,yl, ∬R(x,J,z)=0. Σ3 2009年7月27日星期一 5 目录○ (上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 根据三重积分的计算法 2 1 (,) (,) { } xy z xy z xy D R R dv dz dxdy z z Ω ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫ ∫ .)]},(,[)],(,[{ = ∫∫ 2 − 1 Dxy dxdyyxzyxRyxzyxR 根据曲面积分的计算法 ),( ,)],(,[ 1 1 ∫∫ ∫∫ −= Σ Dxy dxdyzyxR dxdyyxzyxR 2 2 ( , , ) [ , , ( , )] , Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy Σ = ∫∫ ∫∫ 3 R x y z dxdy ( , , ) 0. Σ = ∫∫
于是∬R(x,y,z) =∬{x,z,(x,Jy川-Rx,y,z(,ydd, 叮-Ka咖 同理 心器-售P海k 器水=f(x.x.u. 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 ,)]},(,[)],(,[{ = ∫∫ 2 − 1 Dxy dxdyyxzyxRyxzyxR R x y z dxdy (,) Σ 于是 ∫∫ .),( ∫∫∫∫∫Ω Σ = ∂ ∂ ∴ dxdyzyxRdv z R ,),( ∫∫∫∫∫Ω Σ = ∂ ∂ dydzzyxPdv x P 同理 ,),( ∫∫∫∫∫Ω Σ = ∂ ∂ dzdxzyxQdv y Q
合并以上三式得： 9+=IP腾女+Qt+a 由两类曲面积分之间的关系知 器等3-華raa+0wB+os Q 高斯公式 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系. 2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) -高斯公式 合并以上三式得： ( ) ( cos cos cos ) . PQR dv P Q R dS xyz αβγ Ω Σ ∂∂∂ ++ = + + ∂∂∂ ∫∫∫ w∫∫ 由两类曲面积分之间的关系知 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系
需要说明的是，在上述证明中我们假定了闭 区域2是一个特殊的闭区域，即穿过①内部并且 平行于z轴的直线与2的边界曲面∑的交点恰好 为两个如果2不是这样特殊的闭区域，那么可用 几个辅助光滑曲面将它分成若干个上述特殊闭区 域.由于沿辅助曲面两侧的两个曲面积分互为相 反数，相加后可以相互抵消.由此可知，此时高斯 公式仍然成立.证明的方法与格林公式证明类似， 这里不再赘述， 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 需要说明的是 ， 在 上述证明中我们假定了闭 区域 Ω 是一个特殊的闭区域，即穿过 Ω 内部并且 平行于 z 轴的直线与 Ω 的边界曲面 Σ 的 交点恰好 为两个 .如果 Ω 不是这样特殊的闭区域，那么可用 几个辅 助光滑曲面将它 分成若干个上述特殊闭区 域 .由于沿辅助曲面两侧的 两个曲面 积分互为相 反数，相加后可以相互抵消 .由此可知，此时高斯 公式仍然成立 .证明的方法与格林公式证明类似 ， 这里不再赘述
例1计算曲面积分 ∯(cos+2 xcosB+cos）dS, 其中∑是由x=y=z=0,x=y=z=a六个平面所围成 的立方体的表面的外侧，其中cosa,cosB,coSy是 在点(x,y,z)处法线的方向余弦. 解：设闭曲面∑所围成的区域为D 由于 P=xyz,O=zx,R=xy, aP 60 OR R=0, x 故由高斯公式，得 f(05+-2 -xcosB+-灯os))S=∬dxdpd-=g 4 Q 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 例 1 计算曲面积分 ( xyz zx x cos cos cos d y ) S Σ + + w∫∫ αβγ , 其中 Σ 是由 x y = = z = 0 , x y = = =z a 六个平面所围成 的立方体的表面的外侧，其中cos α ，cos β ，cos γ 是 Σ 在点(, ,) x y z 处法线的方向余弦. 解：设闭曲面 Σ 所围成的区域为 Ω . 由于 P = xyz , Q zx = , R xy = , P yz x ∂ = ∂ , 0 Q R y z ∂ ∂ = = ∂ ∂ , 故 由高斯公式，得 ( xyz zx x cos cos cos d y ) S Σ + + w∫∫ αβγ 5 d d 4 yz x y z d a Ω = = ∫∫∫
例2利用高斯公式计算曲面积分 z=1z1 ∬xdd-drdy,其中Σ是旋转抛 物面z=x2+y2介于平面2=0和 z=1之间的部分的下侧. 解：为了应用高斯公式，作辅助曲面 2:z=1（x2+y2≤1)，取上侧. 则Σ，与Σ一起构成一个闭曲面，取外侧，记它所围成的空 间闭区域为2，如上图所示由高斯公式，得 fxdyd=-dxdy=(-1)dxdyd==0 ∑+∑ 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 例 2 利用高斯公式计算曲面积 分 xdd dd y z zx y Σ − ∫∫ ,其中 Σ 是旋转 抛 物面 2 2 z = x + y 介于平面 z = 0 和 z = 1之间的部分的下侧. 解：为了应用高斯公式，作辅助曲面 1 Σ = : 1 z （ 2 2 x y + ≤ 1 ） , 取上侧. 则 Σ1与 Σ 一起构成一个闭曲面，取外侧，记它所围成的空 间闭区域为 Ω ，如上图所示.由高斯公式，得 1 xyz zxy dd dd Σ+Σ − w∫∫ (1 0 1)d d d 0 xyz Ω = +− = ∫∫∫