新课引入 上一节介绍了微分方程的基本概念，但没有介 绍如何解微分方程。 本节至第四节将讨论常见的一阶微分方程的解法 这节课我们介绍两种微分方程， 即变量分离方程和齐次方程的解法。 2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 上一节介绍了微分方程的基本概念， 新课引入 但没有介 绍如何解微分方程． 本节至第四节将讨论常见的一阶微分方程的解法 ． 这节课我们介绍两种微分方程， 即变量分离方程 和齐次方程的解法
第十一章 第二节变量分离方程 (Differential equations of the variables separated) 一、变量分离方程 二、齐次方程 三、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 第二节 变量分离方程 第十一章 (Differential equations of the variables separated) 一、变量分离方程 二、齐次方程 三、小结与思考练习
一、变量分离方程 形如 p(x)dx=q(y)dy (1) 的方程，称为变量已分离方程，其中p(x),q(y)是已知 连续函数、 如果一阶微分方程可以化为形如（1)的方程，那么原 方程称为可分离变量方程. 设y=p(x)是方程(1)的解，将它代入方程，得恒等式 p(x)dx=q(p(x))o'(x)dx 两端积分，由y=p(x)引进变量y,得 p(x)dx =q(y)dy 2009年7月27日星期一 3 目录 上页今 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 一、变量分离方程 形如 p( )d ( )d x x qy y = （ 1 ） 的方程，称为变量已分离方程，其中 p( ) x ， q y( ) 是 已 知 连续函数． 如果一阶微分方程可以化为形如（ 1）的方程，那么原 方程称为可分离变量方程． 设 y x = ϕ( ) 是方程（ 1）的解，将它代入方程，得恒等式 px x q x x x ( )d ( ( )) ( )d = ϕ ϕ′ 两端积分，由 y x = ϕ( ) 引进变量 y ，得 p( )d ( )d x x qy y = ∫ ∫
设P(x)及Q(y)依次为p(x)及q(y)的原函数，于是有 P(x)=Q(y)+C (2) 因此，方程(1)的解y=p(x)满足关系式（2). 反之，我们也可以证明： 如果y=p(x)是关系式（2)所确定的隐函数， 那么在q(y)≠0的条件下，y=p(x)也是方程（1)的解. 事实上，由隐函数的求导可知，当q(y)≠0时， p'()=P田=p) '(y)q(y) 这就表示函数y=p(x)满足方程（1)， 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 设 P( ) x 及Q y( ) 依次为 p x( ) 及q y( ) 的原函数，于是有 Px Qy C () () = + （ 2 ） 因此，方程（ 1）的解 y x = ϕ( ) 满足关系式（ 2）． 反之，我们也可以证明： 如果 y x = ϕ( ) 是关系式（ 2）所确定的隐函数， 那么在 q y() 0 ≠ 的条件下， y = ϕ( ) x 也是方程（ 1）的解． 事实上，由隐函数的求导可知，当q y() 0 ≠ 时， () () ( ) () () P x px x Q y q y ϕ ′ ′ = = ′ 这就表示函数 y x = ϕ( ) 满足方程（ 1）．
综上可知，如果在变量已分离方程（1)中，p(x),q(y 是连续的，且q(y)≠0，那么(1)式两端积分后得到的关系 式（2)，就用隐函数的形式给出了方程（1)的解，（2)就 叫做微分方程(1)的隐式解.又由于关系式（2)中含有任 意常数，因此（2)式所确定的隐函数是方程（1)的通解， 所以(2)式叫做微分方程（1)的隐式通解. 类似的，当p(x)≠0时，(2)式所确定的隐函数x=(y) 也认为是方程(1)的解. 2009年7月27日星期一 5 目录○ 上页( 下页 、返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 综上可知，如果在变量已分离方程（ 1）中， p( ) x ， q y( ) 是连续的，且q y() 0 ≠ ，那么（ 1）式两端积分后得到的关系 式（ 2），就用隐函数的形式给出了方程（ 1）的解， （ 2）就 叫做微分方程（ 1）的隐式解．又由于关系式（ 2）中含有任 意常数，因此（ 2）式所确定的隐函数是方程（ 1）的通解， 所以（ 2）式叫做微分方程（ 1）的隐式通解． 类似的，当 p x() 0 ≠ 时， （ 2）式所确定的隐函数 x = ψ ( ) y 也认为是方程（ 1）的解．
例1求微分方程 dy=2xy (3) dx 的通解. 解：方程(3)是可分离变量的，分离变量后得 dy =2xdx V 两端积分，得 ∫d=∫2d即lnyx2+C 从而y=士e+G=±e9e 因±9仍是任意常数，把它记作C,便得方程(3)的通解 y=Ce*. 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 例 1 求微分方程 d 2 d y xy x = （ 3 ） 的通解． 解： 1 d 2d y xx y = 两端积分，得 1d 2d y x x y = ∫ ∫ 即 2 1 ln | | yx C = + . 从而 2 2 1 1 e ee xC C x y + =± =± ． 因 1 e C ± 仍是任意常数，把它记作 C ，便得方程（ 3）的通解 2 e x y C= ． 方程（ 3）是可分离变量的，分离变量后得
d少_x+y2 例2求解初值问题dxy+xy yo=1. 解：原方程变形并分离变量，得 两端积分，得)1n(1+y)=)n1+x)+C 2 即ln(1+y2)=ln(1+x2)+lnC（lnC=2C,), 故方程的通解为1+y2=C(1+x2), 把初始条件儿。=1，代入得C=2,故初值问题的特解为 1+y2=2(1+x2) 2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 例 2 求解初值问题 2 2 0 d , d 1. x y x xy x y xy y = ⎧ + ⎪ = ⎨ + ⎪ = ⎩ 解： 2 2 d d 1 1 y x y x y x = + + 原方程变形并分离变量，得 两端积分，得 2 2 1 1 1 ln(1 ) ln(1 ) 2 2 + y xC = ++ 即 2 2 ln(1 ) ln(1 ) ln += ++ y xC （ 1 ln 2 C C = ）， 故方程的通解为 2 2 1 (1 ) += + y C x ， 把初始条件 0 1 x y = = ，代入得 C = 2 ，故初值问题的特解为 2 2 1 2(1 ) += + y x
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0，求 降落伞下落速度与时间的函数关系 解：根据牛顿第二定律列方程m dy =mg-kv 初始条件为v=0=0 对方积分商文无，然后京分小g, 得是h(g-k)-0C(此处msk0) m 利用初始条件，得C= ;In(mg) t足够大时 代入上式后化简，得特解v= m8(1-e m 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 成正比 , 求 解 : 根据牛顿第二定律列方程 = t v m d d 初始条件为 v t = 0 = 0 对方程分离变量 , m t vkmg v dd = 然后积分 ∫ − ∫ : 得 C m t vkgm k )(ln +=−− 1 (此处 gm − k v > )0 利用初始条件, 得 )(ln 1 gm k C −= 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, )1( t m k e k gm v − −= mg − k v 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. k mg v ≈ t 足够大时 例 3
二、齐次方程(Homogeneous equation)) 形如dy=白的方程叫做齐次方程. dx 一般地，为了判定一阶微分方程业=x,)是否为齐次 dr 方程，可将方程右端p(x,y)中的x,y分别用x，y替换， 若有 p(x,y)=0(x,y) 则方程少=x,)为齐次方程. dx 例如，方程y=+,y=2少都是齐次方程 x-y x2-xy 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 二、齐次方程 (Homogeneous equation) 形如 d ( ) d y y f x x = 一般地，为了判定一阶微分方程 的方程叫做齐次方程 . d (, ) d y x y x = ϕ 是否为齐次 方程，可将方程右端 ϕ(, ) x y 中的 x ， y 分别用tx ，ty 替换， 若有 ϕ( , ) (, ) tx ty x y = ϕ 则方程 d (, ) d y x y x = ϕ 为齐次方程． 例如，方程 x y y x y + ′ = − ， 2 2 2 y y x xy ′ = − 都是齐次方程．
下面我们来讨论齐次方程的一般解法. 设齐次方程为 dy-o() d 解法：令u=,则y=x, dy du X dx 二u+x dx du 代入原方程得 u+x p(u) dx du dx 分离变量： P(u)-u 两边积分，得 人 du =j (u）-u 积分后再用》代替山，便得原方程的通解。 X 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 下面我们来讨论齐次方程的一般解法． 设齐次方程为 d ( ) d y y x x = ϕ 令 , x y u = 则 = xuy , 代入原方程得 , d d d d x u xu x y += )( d d u x u xu =+ ϕ x x uu u d )( d = ϕ − 两边积分, 得 ∫∫ = − x x uu u d )( d ϕ 解法 : 分离变量: 积分后再用 x y 代替 u , 便得原方程的通解