高等学校教材 初等数论 (第三版) 闵嗣鹤 严士健 编 高等教育出版社
高等学校教材 初 等 数 论 (第三版) 闵嗣鹤 严士健 编 高等教育出版社
第三版序 从本书第二版发行以来，经历了21年。在此期间，印行了27 次，印数累计达到27万余册。作为一本数论教科书，能够得到如 此广泛的使用，作为作者之一，深深感谢广大老师和读者对本书的 关爱和支持；同时也深深意识到作为本书作者的责任，如何让它能 更好地为社会服务。 20世纪是数学的黄金时代，在数论中最值得向广大读者介绍 的是世纪后期的两件大事：费马大定理获得证明和公开密钥体制 的建立。 可能费马也未必能想到，它在书边写下的一个结论和他关于 这个结论的附注“我对此命题有一个十分美妙的证明，这里的空白 太小，写不下”竟成了一个困扰了人类智者358年的谜团一费马 大定理，真正是“引无数英雄竞折腰”的难题。三百多年以来，人们 百折不回，此路不通又另辟蹊径。终于在世纪末的1994年才由安 德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)最后完成证明。费马大定理的证明， 既是数学界的盛事，更是人类智慧的象征，是一件具有伟大意义的 事件。它的证明过程提供了很多的重要启示。说明一个好的数学 难题应该能够对数学—甚至是科学一的发展起推动作用。就 像为研究欧几里得第五公设的独立性而发现非欧几何，为研究超 过四次的代数方程的根式解而产生伽罗华理论、建立群论一样，费 马大定理的证明的前期是发现理想子环一抽象代数的支柱之一 的原动力；在20世纪末有力地促进了数论与代数几何结合而形成 算术代数几何，证明了志村·谷山·韦依猜想(TSW猜想)而提供 了朗兰兹纲领(Langlands programme)成立的一个重要例证。说明 数学是统一的，既要搞清楚各个分支以至各个具体问题的结构，同 I
第 三 版 序 从本书第二版发行以来,经历了 21 年。在此期间, 印行了 27 次,印数累计达到 27 万余册。作为一本数论教科书, 能够得到如 此广泛的使用,作为作者之一, 深深感谢广大老师和读者对本书的 关爱和支持;同时也深深意识到作为本书作者的责任, 如何让它能 更好地为社会服务。 20 世纪是数学的黄金时代, 在数论中最值得向广大读者介绍 的是世纪后期的两件大事: 费马大定理获得证明和公开密钥体制 的建立。 可能费马也未必能想到, 它在书边写下的一个结论和他关于 这个结论的附注“我对此命题有一个十分美妙的证明, 这里的空白 太小,写不下”竟成了一个困扰了人类智者 358 年的谜团———费马 大定理,真正是“引无数英雄竞折腰”的难题。三百多年以来, 人们 百折不回,此路不通又另辟蹊径。终于在世纪末的 1994 年才由安 德鲁·怀尔斯( Andrew Wiles)最后完成证明。费马大定理的证明, 既是数学界的盛事,更是人类智慧的象征, 是一件具有伟大意义的 事件。它的证明过程提供了很多的重要启示。说明一个好的数学 难题应该能够对数学———甚至是科学———的发展起推动作用。就 像为研究欧几里得第五公设的独立性而发现非欧几何, 为研究超 过四次的代数方程的根式解而产生伽罗华理论、建立群论一样, 费 马大定理的证明的前期是发现理想子环———抽象代数的支柱之一 的原动力;在 20 世纪末有力地促进了数论与代数几何结合而形成 算术代数几何,证明了志村 - 谷山 - 韦依猜想( TSW 猜想 )而提供 了朗兰兹纲领( Langlands programme) 成立的一个重要例证。说明 数学是统一的,既要搞清楚各个分支以至各个具体问题的结构, 同 Ⅰ
时要搞清楚各个分支之间的本质联系。说明数学甚至科学的重大 成就常常是一种艰巨的接力运动，后人的伟大是“站在巨人的肩膀 上”。说明人类的智慧是无限的，产生于艰苦的努力之中。这是我 想在这本小书中和读者交流、讨论的认识之一，为此在这一版中增 加了费马大定理证明过程的介绍。 数论，作为课程内容常常被认为是介绍一些基础知识，作为研 究内容是一大批纯数学的难题，经常被认为与实际应用没有多大 关系的学科。有些学者就是由于这个原因而在某个时期转而从事 其他分支的教学与研究。但是出乎人们的预料，在20世纪后期， 随着计算机技术和信息科学的发展，人类进入了信息时代，科学和 技术进入了新的时代，提出了信息安全这样的重大问题。在这种 背景下，数论在实际应用的前沿做出了重大的贡献，为解决信息安 全问题提供了一种核心技术一公开密钥。这一事实再一次（因 为这种情况不止一次地出现)告诉人们，对于基础科学的作用应该 有一个正确的认识，它不但在基础方面对科学、技术乃至思维方面 起着奠基的作用，而且在技术的发展方面有时能做出突破性贡献。 同时也启示我们，学习一门学科虽然不能都要求全面掌握，但是应 该对它有全面的了解，做到胸有成竹、能够抓住时机。这一事件对 于从事数论学习、研究的人们也是一个巨大的鼓舞。为此我在这 一版中介绍了公开密钥的原理、基本方法和资料。 另外，本书的目的是向读者介绍数论本身的基础知识，并增加 了一些大纲以外的材料，这些外加材料都独立成节或在习题中出 现，特别用星号*加以标志。但是读者如果能进一步理解它与数 学的其他分支的联系不但能更好地掌握和运用数论的基础知识， 而且对于理解其他分支乃至数学都是有益的。以往我们在这方面 作过一些努力，如介绍数论函数、三角和的基本概念，这次趁再版 的机会，在有关章节建议读者与抽象代数联系并加以考察。 我希望对本书的补充和修改能够保持原书的意图，因为那是 闵嗣鹤老师和我共同的意愿
时要搞清楚各个分支之间的本质联系。说明数学甚至科学的重大 成就常常是一种艰巨的接力运动,后人的伟大是“站在巨人的肩膀 上”。说明人类的智慧是无限的, 产生于艰苦的努力之中。这是我 想在这本小书中和读者交流、讨论的认识之一, 为此在这一版中增 加了费马大定理证明过程的介绍。 数论,作为课程内容常常被认为是介绍一些基础知识, 作为研 究内容是一大批纯数学的难题, 经常被认为与实际应用没有多大 关系的学科。有些学者就是由于这个原因而在某个时期转而从事 其他分支的教学与研究。但是出乎人们的预料, 在 20 世纪后期, 随着计算机技术和信息科学的发展,人类进入了信息时代, 科学和 技术进入了新的时代, 提出了信息安全这样的重大问题。在这种 背景下,数论在实际应用的前沿做出了重大的贡献, 为解决信息安 全问题提供了一种核心技术———公开密钥。这一事实再一次 ( 因 为这种情况不止一次地出现)告诉人们, 对于基础科学的作用应该 有一个正确的认识,它不但在基础方面对科学、技术乃至思维方面 起着奠基的作用,而且在技术的发展方面有时能做出突破性贡献。 同时也启示我们,学习一门学科虽然不能都要求全面掌握, 但是应 该对它有全面的了解,做到胸有成竹、能够抓住时机。这一事件对 于从事数论学习、研究的人们也是一个巨大的鼓舞。为此我在这 一版中介绍了公开密钥的原理、基本方法和资料。 另外,本书的目的是向读者介绍数论本身的基础知识, 并增加 了一些大纲以外的材料, 这些外加材料都独立成节或在习题中出 现,特别用星号 * 加以标志。但是读者如果能进一步理解它与数 学的其他分支的联系不但能更好地掌握和运用数论的基础知识, 而且对于理解其他分支乃至数学都是有益的。以往我们在这方面 作过一些努力,如介绍数论函数、三角和的基本概念, 这次趁再版 的机会,在有关章节建议读者与抽象代数联系并加以考察。 我希望对本书的补充和修改能够保持原书的意图, 因为那是 闵嗣鹤老师和我共同的意愿。 Ⅱ
再一次感谢所有关心、支持此书的教师和读者，感谢高等教育 出版社积极推动此书的再版。由于时间和水平所限，不妥和错误 之处在所难免，希望老师们和读者继续关心和支持，随时指正，不 胜感激。 严士健 2003年春节于北京师范大学 Ⅲ
再一次感谢所有关心、支持此书的教师和读者, 感谢高等教育 出版社积极推动此书的再版。由于时间和水平所限, 不妥和错误 之处在所难免,希望老师们和读者继续关心和支持, 随时指正, 不 胜感激。 严士健 2003 年春节于北京师范大学 Ⅲ
写在再版前面 作为《初等数论》的作者之一，能看到这本书由于社会需要而 再版，非常高兴，但是本书的主要构造者，我尊敬的老师闵嗣鹤先 生却没有机会看到这次再版，不能对本书亲自作一次中肯的修改， 这对我及读者都不能不是一件憾事。 由于本书是闵先生和我合作的结果，而且对当前教学还基本 合用，所以这次修订再版，我只改正了书中的一些错误。原来书中 提到的一些有关的数论研究课题的发展情况，目的是扩大青年同 学的眼界，也介绍一些（远不全面）我国学者的成就。本书出版后， 我国学者继续在一些数论问题上取得进展，有关原始文献容易得 到。因此我也只在有关地方改动一下提法以尽量减少变动。 根据我自己以及一些老师的教学实践，数学系（特别是师范院 校)的本科生在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的。 一方面通过这些内容加深对数的性质的了解，更深入地理解某些 其他邻近学科；另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训 练，这些训练在很多方面都是有益的。但本书作为每周四学时 学期的课程的教材，内容可能稍多一点。如果真是这样，我认为根 据上述要求，第五、七章的后几节及第六章可以全部不讲或者只介 绍一些基本概念。 历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题有一个共同的特 点：问题本身很容易弄懂，容易引起人们的兴趣，要想推进却非常 之难。从数论的迄今发展历史来看，数论难题的解决或实质性进 展，都用到一些深刻的数学概念、方法和技巧。所以凡是有志于这 些问题的青年都应该扎扎实实地学习近代数论的一些方法和技 巧，并且十分注意推证和估计能力的训练。这样才有可能在这些
写在再版前面 作为《初等数论》的作者之一, 能看到这本书由于社会需要而 再版,非常高兴, 但是本书的主要构造者,我尊敬的老师闵嗣鹤先 生却没有机会看到这次再版,不能对本书亲自作一次中肯的修改, 这对我及读者都不能不是一件憾事。 由于本书是闵先生和我合作的结果, 而且对当前教学还基本 合用,所以这次修订再版, 我只改正了书中的一些错误。原来书中 提到的一些有关的数论研究课题的发展情况, 目的是扩大青年同 学的眼界,也介绍一些( 远不全面)我国学者的成就。本书出版后, 我国学者继续在一些数论问题上取得进展, 有关原始文献容易得 到。因此我也只在有关地方改动一下提法以尽量减少变动。 根据我自己以及一些老师的教学实践,数学系( 特别是师范院 校)的本科生在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的。 一方面通过这些内容加深对数的性质的了解, 更深入地理解某些 其他邻近学科;另一方面, 也许更重要的是可以加强他们的数学训 练,这些训练在很多方面都是有益的。但本书作为每周四学时一 学期的课程的教材,内容可能稍多一点。如果真是这样, 我认为根 据上述要求,第五、七章的后几节及第六章可以全部不讲或者只介 绍一些基本概念。 历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题有一个共同的特 点:问题本身很容易弄懂,容易引起人们的兴趣, 要想推进却非常 之难。从数论的迄今发展历史来看, 数论难题的解决或实质性进 展,都用到一些深刻的数学概念、方法和技巧。所以凡是有志于这 些问题的青年都应该扎扎实实地学习近代数论的一些方法和技 巧,并且十分注意推证和估计能力的训练。这样才有可能在这些 Ⅳ
难题上作些贡献，否则会劳而无功。另外有意义的数学研究课题 (包括现代数学发展中提出的一些数论问题)还是很多的，祖国“四 化”事业需要各方面的人才，有志于数学研究的青年不一定都去攻 这些经典的数论难题。当然无论进行哪个方向的研究，坚实的理 论基础和良好的解决问题的能力都是绝对需要的。 本书出版以来，很多同志热心地指出其中一些错误并提出一 些宝贵意见。这次再版之前，承蒙闵先生的夫人朱敬一先生及其 长子闵乐泉同志仔细阅读全书，提出很多宝贵意见。潘承彪同志 详细地审阅了全书，提出了很多中肯的修改意见。这一切都对提 高书的质量有极大的帮助。借此机会致以深深的谢意，并热诚欢 迎大家给本书提出批评指正。 严士健 1982年1月于北京师范大学
难题上作些贡献,否则会劳而无功。另外有意义的数学研究课题 (包括现代数学发展中提出的一些数论问题) 还是很多的,祖国“四 化”事业需要各方面的人才, 有志于数学研究的青年不一定都去攻 这些经典的数论难题。当然无论进行哪个方向的研究, 坚实的理 论基础和良好的解决问题的能力都是绝对需要的。 本书出版以来,很多同志热心地指出其中一些错误并提出一 些宝贵意见。这次再版之前, 承蒙闵先生的夫人朱敬一先生及其 长子闵乐泉同志仔细阅读全书, 提出很多宝贵意见。潘承彪同志 详细地审阅了全书,提出了很多中肯的修改意见。这一切都对提 高书的质量有极大的帮助。借此机会致以深深的谢意, 并热诚欢 迎大家给本书提出批评指正。 严士健 1982 年 1 月于北京师范大学 Ⅴ
第一版序 在师范大学与师范学院的数学系都有整数论这一门课，它的 试行教学大纲也由教育部在1955年制订并颁布执行了。但是由 于没有一本适当的教本或参考书，担任这一课程的教师在选择教 材与指定参考书方面都一直感到一定的困难。我和严士健同志先 后在师范大学讲授整数论这一门课。最初，大纲还未制订，我只好 采用I.M.BHHorpaOB著的（裘光明同志翻译）数论基础为主要 参考书，同时根据苏联的教学大纲，作了必要的补充。由于没有适 当的教本，我曾计划编写讲义，但受时间的限制，那时只写了一些 补充材料，而大部还是依照数论基础这本书来讲授。严士健同志 在接着担任这门课程的期间加以整理写成一本完整的讲义。最后 经过教育部的督促由我们依照师范学院整数论试行教学大纲，再 加以修改补充合写成这本书。 作为一个好的教本，我以为要具有三个条件。第一是教材要 选择得恰当，安排得自然。第二是说理要严格而清楚，深入而浅 出，也就是逻辑性与直观性都要强。第三是要引人入胜，使人有 “欲穷千里目，更上一层楼”之感，换句话说，问题的来源与发展都 要交代清楚，使读者能从少许见多许，增加他们目前学习与今后钻 研的兴趣。如果执此以绳眼前的这本书，我想会发现很多缺点的。 不过，严士健同志和我自己，结合几年来的教学经验，在写作中还 是朝着这个方向而努力的。虽然我们做得很不够，也希望采用这 本书的教师能结合自己的经验与特长，随时弥补。 这本书虽然主要是依照师范学院的整数论教学大纲而写成 的，但同时也照顾到综合大学数论这一课程的需要，增加了一些大 纲以外的材料。这些外加的材料都独立成节，特别用星号*加以
第 一 版 序 在师范大学与师范学院的数学系都有整数论这一门课, 它的 试行教学大纲也由教育部在 1955 年制订并颁布执行了。但是由 于没有一本适当的教本或参考书,担任这一课程的教师在选择教 材与指定参考书方面都一直感到一定的困难。我和严士健同志先 后在师范大学讲授整数论这一门课。最初,大纲还未制订, 我只好 采用 И.М.Виноградов著的 ( 裘光明同志翻译 ) 数论基础为主要 参考书,同时根据苏联的教学大纲, 作了必要的补充。由于没有适 当的教本,我曾计划编写讲义, 但受时间的限制, 那时只写了一些 补充材料,而大部还是依照数论基础这本书来讲授。严士健同志 在接着担任这门课程的期间加以整理写成一本完整的讲义。最后 经过教育部的督促由我们依照师范学院整数论试行教学大纲, 再 加以修改补充合写成这本书。 作为一个好的教本, 我以为要具有三个条件。第一是教材要 选择得恰当, 安排得自然。第二是说理要严格而清楚, 深入而浅 出,也就是逻辑性与直观性都要强。第三是要引人入胜, 使人有 “欲穷千里目, 更上一层楼”之感, 换句话说, 问题的来源与发展都 要交代清楚,使读者能从少许见多许, 增加他们目前学习与今后钻 研的兴趣。如果执此以绳眼前的这本书,我想会发现很多缺点的。 不过,严士健同志和我自己, 结合几年来的教学经验, 在写作中还 是朝着这个方向而努力的。虽然我们做得很不够, 也希望采用这 本书的教师能结合自己的经验与特长,随时弥补。 这本书虽然主要是依照师范学院的整数论教学大纲而写成 的,但同时也照顾到综合大学数论这一课程的需要, 增加了一些大 纲以外的材料。这些外加的材料都独立成节, 特别用星号 * 加以 Ⅵ
标志。在写作中，我们还参考了华罗庚先生的数论导引，特在此致 谢。本书对于我国古代与当今数学家在数论方面的成就以及前苏 联和其他国家的数学家的贡献也尽可能作了一定程度的介绍，不 够全面之处，还希望读者原谅。最后，希望读者，尤其是全国各师 范学院采用这本书的老师们能对本书多提意见，以便将来能够根 据这些意见把它修改成更合乎理想，更合乎教学需要的一本书。 闵嗣鹤 1956年10月于北京大学
标志。在写作中,我们还参考了华罗庚先生的数论导引, 特在此致 谢。本书对于我国古代与当今数学家在数论方面的成就以及前苏 联和其他国家的数学家的贡献也尽可能作了一定程度的介绍, 不 够全面之处,还希望读者原谅。最后, 希望读者, 尤其是全国各师 范学院采用这本书的老师们能对本书多提意见, 以便将来能够根 据这些意见把它修改成更合乎理想,更合乎教学需要的一本书。 闵嗣鹤 1956 年 10 月于北京大学 Ⅶ
目录 第一章整数的可除性.1 §1整除的概念.带余数除法.1 §2最大公因数与辗转相除法.4 S3整除的进一步性质及最小公倍数.9 §4质数算术基本定理.14 §5函数[x】,{x}及其在数论中的一个应用.19 第二章不定方程. . 24 §1二元一次不定方程.25 §2多元一次不定方程.32 §3勾股数.34 *§4费马问题的介绍.37 第三章同余.48 S1同余的概念及其基本性质.48 §2剩余类及完全剩余系.54 §3简化剩余系与欧拉函数.58 §4欧拉定理费马定理及其对循环小数的应用.6 §5公开密钥—RSA体制. 64 *S6三角和的概念.69 第四章同余式.74 §1基本概念及一次同余式.74 §2孙子定理.76 §3高次同余式的解数及解法.80 §4质数模的同余式.84 第五章二次同余式与平方剩余 . 88 §1一般二次同余式.88 §2单质数的平方剩余与平方非剩余.91
目 录 第一章 整数的可除性 . 1 §1 整除的概念·带余数除法 . 1 §2 最大公因数与辗转相除法 . 4 §3 整除的进一步性质及最小公倍数 . 9 §4 质数·算术基本定理 . 14 §5 函数[ x ] , { x}及其在数论中的一个应用 . 19 第二章 不定方程 . 24 §1 二元一次不定方程 . 25 §2 多元一次不定方程 . 32 §3 勾股数 . 34 J *§4 费马问题的介绍 . 37 第三章 同余 . 48 §1 同余的概念及其基本性质 . 48 §2 剩余类及完全剩余系 . 54 §3 简化剩余系与欧拉函数 . 58 §4 欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用 . 61 §5 公开密钥———RSA 体制 . 64 *§6 三角和的概念 . 69 第四章 同余式 . 74 §1 基本概念及一次同余式 . 74 §2 孙子定理 . 76 §3 高次同余式的解数及解法 . 80 §4 质数模的同余式 . 84 第五章 二次同余式与平方剩余 . 88 §1 一般二次同余式 . 88 §2 单质数的平方剩余与平方非剩余 . 91 Ⅰ
§3勒让德符号.93 §4前节定理的证明. 96 §5雅可比符号.99 §6合数模的情形 .104 ”§7把单质数表成二数平方和.107 ·§8把正整数表成平方和 .113 第六章原根与指标.120 §1指数及其基本性质 ,:, 120 §2原根存在的条件 123 §3指标及n次剩余.130 §4模2”及合数模的指标组.138 §5特征函数.142 第七章连分数.149 §1连分数的基本性质.149 §2把实数表成连分数.153 §3循环连分数.159 ·§4二次不定方程 . 162 第八章代数数与超越数.167 §1二次代数数.167 §2二次代数整数的分解 .173 §3n次代数数与超越数 179 §4e的超越性.181 S5元的超越性.187 第九章数论函数与质数分布.193 §1可乘函数.193 §2π(x)的估值.199 §3除数问题与圆内格点问题的介绍.204 §4有关质数的其他问题.210 附录 .215
§3 勒让德符号 . 93 §4 前节定理的证明 . 96 §5 雅可比符号 . 99 §6 合数模的情形 . 104 *§7 把单质数表成二数平方和 . 107 *§8 把正整数表成平方和 . 113 第六章 原根与指标 . 120 §1 指数及其基本性质 . 120 §2 原根存在的条件 . 123 §3 指标及 n 次剩余 . 130 §4 模 2 α 及合数模的指标组 . 138 §5 特征函数 . 142 第七章 连分数 . 149 §1 连分数的基本性质 . 149 §2 把实数表成连分数 . 153 §3 循环连分数 . 159 *§4 二次不定方程 . 162 第八章 代数数与超越数 . 167 §1 二次代数数 . 167 §2 二次代数整数的分解 . 173 §3 n 次代数数与超越数 . 179 §4 e 的超越性 . 181 *§5 π的超越性. 187 第九章 数论函数与质数分布 . 193 §1 可乘函数 . 193 §2 π( x )的估值 . 199 *§3 除数问题与圆内格点问题的介绍 . 204 §4 有关质数的其他问题 . 210 附录 . 215 Ⅱ