第十一章 第五节可降阶的高阶微分方程 (The differential equations able to reduce order) 一、ym)=f(x)型的微分方程 二、y”=(x,y)型的微分方程 三、y”=∫(y,y)型的微分方程 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第五节 可降阶的高阶微分方程 第十一章 (The differential equations able to reduce order) 一、 = ( ) ( ) n y fx 型的微分方程 二、 y f xy ′′ ′ = (, )型的微分方程 三、 y′′ ′ = f yy (, )型的微分方程 四、小结与思考练习
一、ym=f(x)型的微分方程 令z=ym=,则d=ym四=fx),因此 dx z=∫f(x)dx+C 即 y(-1)=ff(x)dx+C 同理可得ym-2=[f(x)dx+C]dx+C2 [ff(x)dx ]dx +Cx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解. 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、 型的微分方程 = ( ) ( ) n y f x 令 , − )1( = n yz )( d d n y x z 则 = 因此 1 = d)( + Cxxfz ∫ 即 1 )1( d)( Cxxfy n = + ∫ − 同理可得 [ ] 2 )2( y d Cx n = + ∫ − 1 d)( + Cxxf ∫ [ ]d x ∫ = d)( xxf ∫ 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . = f x ,)( + +CxC 21
例1求解y”=e2x-cosx.(补充题) 解：y”=∫(e2x-cosx )dx+-C e2x-sinx+Ci _1e2x+cosx+Cix+C2 4 1 y 2x e+sinx+Cjx2+C2x+C3 8 (此处GG) 自学课本例1 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 .cos 2 xey x 求解 ′′′ −= 解: ( ) 1 2 cos Cxdxey x ′′ −= + ′ ∫ 1 2 sin 2 1 Cxe x +−= ′ x ey 2 4 1 ′ = x ey 2 8 1 = ( ) 11 2 1 此处 = CC ′ + sin x 2 1 + xC C32 + C x + + cos x C21 + C′x + 例 1 （补充题） 自学课本 例 1
例2质量为m的质，点受力F的作用沿x轴作直线 运动，设力F仅是时间t的函数：F=F(心，在开始时刻 t=0时F(O)=F.,随着时间的增大，此力F均匀地减 小，直到t=T时F(T=0.如果开始时质点在原点，且 初速度为0，求质，点的运动规律. 解：据题意有 片 -I- x=0=0, dil-o =0 Tt 对方程两边积分，得 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 ,0 x t = 0 = 运动 , 在开始时刻 ,)0( F = F0 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F( T) = 0 .如果开始时质点在原点, 解 : 据题意有 )( d d 2 2 tF t x m = t F o T 0 (1 ) F0 F = t F T = − 0 d d t = 0 = t x )1( 0 T t F − t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F ( t) . 小 , 初速度为0, 求质点的运动规律. 且 对方程两边积分, 得 0 (1 ) F t m T = − 例2 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 ox 轴作直线
dt m 2)+C dx Fo(t dx 利用初始条件 物-0得G=0于发 d_(- 12 di 1 m T 两边再积分得x= 2 67)+2 再利用x1=0=0得C2=0,故所求质点运动规律为 r- 2m (0≤t≤T) 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 1 2 0 ) 2 ( d d C T t t m F t x +−= 利用初始条件 得 C1 = ,0 于是 ) 2 ( d d 2 0 T t t m F t x −= 两边再积分得 2 32 0 ) 62 ( C T tt m F x +−= 再利用 0 x t = 0 = ,0 得 C 2 = 故所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 3 0 2 T t t m F x −= 0 d d t = 0 = t x (0 ) ≤ t T ≤
二、y”=x,y)型的微分方程 这种方程的特点是不显含未知函数y,求解的方法是： 设y=p(x),则y”=p,原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为p=p(x,C1) 则得 y'=0(x,C1) 再一次积分，得原方程的通解 y=∫p(x,C1)dx+C2 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 二、 型的微分方程 y′′ ′ = f xy (, ) 设 ′ = xpy ,)( 则 ′′ = py ′, 原方程化为一阶方程 p′ = f x p),( 设其通解为 ),( C1 p = ϕ x 则得 ),( C1 y′ = ϕ x 再一次积分, 得原方程的通解 1 2 = d),( + CxCxy ∫ ϕ 这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：
(1+x2)y"=2xy 例3求解 (由课本例3改编) yx=0=1,yx=0=3 解：设y=p(x),则y”=p',代入方程得 (1+x2)p'=2xp分离变量dp-2xd p(1+x2) 积分得lnp=ln(1+x2)+nC,即p=C1(1+x2) 利用yx=0=3,得C1=3,于是有y=3(1+x2) 两端再积分得y=x3+3x+C2 利用yx=0=1,得C2=1,因此所求特解为 y=x3+3x+1 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 + ′′ = 2)1( yxyx ′ 2 ,1 y x = 0 = 3 y′ x = 0 = 解: 设 ′ = py x),( 则 ′′ = py ′, 代入方程得 2)1( pxpx2 + ′ = 分离变量 )1( d2d 2 x xx p p + = 积分得 ,ln)1(lnln 1 2 ++= Cxp )1( 2 1 即 += xCp ,3 利用 y′ x = 0 = ,3 得 C1 = 于是有 )1(3 2 ′ += xy 两端再积分得 2 3 3 ++= Cxxy 利用 ,1 y x = 0 = ,1 得 C 2 = 13 3 xxy ++= 因此所求特解为 例3 求解 （由课本 例 3改编）
例4求微分方程(1-x2)y”"-y'=0满足初值条件 o=1,y儿=1的特解. 解：设y=p(x),则y”=p',代入方程得 (1-x2)2-p=0 dx 分离变量，并积分得 d2=x dx,p-I(-x)+InICil p 解得p= I- 即y= ·(*) V1-x2 对(*)式两端积分，得y=C,arcsinx+C2 由初值条件y以。=1，y10=1,有C1=1,C2=1, 故所求的特解为y=arcsinx+l. 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 例 4 求微分方程 2 (1 ) 0 − x y xy ′′ ′ − = 满足初值条件 0 1 x y = = ， 0 1 x y = ′ = 的特解． 解： 2 d (1 ) 0 d p x xp x − − = 设 ′ = xpy ),( 则 ′′ = py ′, 代入方程得 分离变量，并积分得 2 d d 1 p x x p x = − ， 即 2 1 1 ln | | ln(1 ) ln | | 2 p =− − + x C 解得 1 2 1 C p x = − ， 即 1 2 1 C y x ′ = − ．（ * ） 对 （ * ）式两端积分，得 1 2 y = C xC arcsin + 由初值条件 0 1 x y = = ， 0 1 x y = ′ = ，有 1 C = 1 ， 2 C = 1， 故所求的特解为 y x = arcsin 1 + ．
三、y”=f(y,y)型的微分方程 这种方程的特点是不显含未知自变量x,其解法是： ◆y=p0广股出=出 dx dy dx 故方程化为 dP-f(y.p) 设其通解为p=p(y,C1),即得 y'=p(y,C1) 分离变量后积分，得原方程的通解 dy 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 三 、 型的微分方程 y′′ ′ = f yy (, ) 这种方程的特点是不显含未知自变量 x ，其解法是： 令 ′ = ypy ),( x p y d d 则 ′′ = x y y p d d d d ⋅= y p p d d = 故方程化为 ),( d d pyf y p p = ),( 设其通解为 C1 p = ϕ y 即得 ),( C1 y′= ϕ y 分离变量后积分, 得原方程的通解 2 1),( d Cx Cy y += ∫ ϕ
例5求解yy”-y2=0.(补充题) 代入方程得yPdy d0-p2=0,即2-y 两端积分得lnp=lny+lnCi,即p=Ciy, y=Cy(一阶线性齐次方程) 故所求通解为 y=C2eCix 自学课本例5 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 .0 2 ′′ − yyy ′ = 解 : 设 ′ = ypy ),( x p y d d 则 ′′ = d d d d y y p x = y p p d d = 例5 求解 （补充题） 代入方程得 ,0 d d 2 p =− y p py y y p p dd 即 = 两端积分得 = + Cyp 1 ,lnlnln , 1 即 p = C y y C y = 1 ∴ ′ (一阶线性齐次方程 ) 故所求通解为 C x eCy 1 = 2 自学课本 例 5