第十一章 第三节一所孩性微分方程 (Linear differential equation of first order) 一、 线性微分方程 二、伯努利方程 三、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第三节 一阶线性微分方程 第十一章 (Linear differential equation of first order) 一、线性微分方程 二、伯努利方程 三、小结与思考练习
一、线性微分方程(Linear differential equation) 形如 y'+p(x)y=g(x) (1) 的方程，称为一阶线性微分方程. 在方程(1)中，若q(x)≠0，则称方程（1)为 一阶非齐次线性微分方程；若q(x)=0,则方程（1)写为 y'+p(x)y=0, (2) 方程（2)称为方程(1)所对应的齐次方程. 注意：这里的“齐次”是指方程(1)的右端为0， 而上一节的“齐次方程”中的“齐次”是指对x与y而言 次数相同.两者含义不同，请勿混淆、 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、线性微分方程 (Linear differential equation) 形如 y′ + p x() () y = q x （ 1 ） 的方程，称为一阶线性微分方程． 在方程（ 1）中，若q x() 0 ≠ ，则称方程（ 1）为 一 阶非齐次线性微分方程 ； 若 q x() 0 ≡ ，则方程（ 1）写为 y pxy ′ + () 0 = ， （ 2 ） 方程（ 2）称为方程（ 1）所对应的齐次方程． 注意：这里的“齐次”是指方程（ 1）的右端为 0， 而上一节 的“齐次方程”中的“齐次”是指 对 x 与 y 而言， 次数相同．两者含义不同，请勿混淆．
下面我们来讨论一阶线性微分方程的解法. 首先求方程(1)所对应的齐次方程（2)的通解， 它是可分离变量的方程.分离变量，得 y=-p(x)dx y 两边积分，得通解为 In|y-p(x)dx+InC 或 y=CeJ(C=tC】 (3) 再求一阶非齐次线性微分方程（1)，即 y+p(x)y=q(x)(其中q(x)≠0) (4) 的通解. 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 下面我们来讨论一阶线性微分方程的解法． 首先求方程（ 1）所对应的齐次方程（ 2）的通解， 它是可分离变量的方程．分离变量，得 1 d ( )d y px x y = − 两边积分，得通解为 1 ln | | ( )d ln y px x C =− + ∫ 或 ( )d e p x x y C − ∫ = （C C = ± 1 ）． （ 3 ） 再求一阶非齐次线性微分方程（ 1 ），即 y pxy qx ′ + = () () （其中 q x() 0 ≠ ） （ 4 ） 的通解．
特方数()变花为些-%个小 两边积分，得nl∫ydx-Jrdx 若记∫dx=),则lny()-∫p)dx g即y=e(x)ep(x)dx=u(x)ep)ax（其中(x)=e)). 将这个解与对应的齐次方程（2)的通解（3)作比较， 易见其表达式形式一致，只需将式(3)中的常数C换成u(x) 由此我们引入求一阶非齐次线性微分方程通解的常数变易 法，即在求出对应齐次方程的通解(3)后，将通解中的常 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 将方程（ 4）变形为 d () ()d, y qx px x y y ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 两边积分，得 ( ) ln | | d ( )d , q x y x px x y = − ∫ ∫ 若记 ( ) d () q x x vx y = ∫ ，则ln | | y = − vx px x ( ) ( )d , ∫ 即 ( ) ( )d ( )d e e ( )e vx px x px x y u x − − ∫ ∫ = = （其中 ( ) () ev x u x = ） ． 将这个解与对应的齐次方程（ 2）的通解（ 3）作比较， 易见其表达式形式一致，只需将式（ 3）中的常数 C 换成u x( ) ． 由此我们引入求一阶非齐次线性微分方程通解的常数变 易 法，即在求出对应齐次方程的通解（ 3）后，将通解中的常
数C变易为待定函数(x)，并设一阶非齐次线性微分方 程通解为 y=u(x)e (5) 对(5)式两边求导，得 y(eux)p(x)e -u(x)e-p(x)y 代入方程（4)，得 u(x) =q(x), (6) 解方程（6)，得 4(x)=∫q(x)eJ地dr+C 代入(5)式，得 y=eJau[ωex+C (7) 它即为方程（4)的通解： 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 数 C 变易为待定函数u x( ) ， ( )d ( )e p x x y ux − ∫ = ， （ 5 ） 对（ 5）式两边求导，得 并设一阶非齐次线性微分方 程通解为 ( )d ( )d ( )e ( ) ( )e p x x px x y u x uxpx − − ∫ ∫ ′ ′ = − ( )d ( )e ( ) px x u x pxy − ∫ = − ′ 代入方程（ 4 ），得 ( )d ( )e ( ) 6 px x u x qx − ∫ ′ = ， ） （ 解方程（ 6 ），得 ( )d ( ) ( )e d px x ux qx x C ∫ = + ∫ 代入（ 5）式，得 ( )d ( )d e ( )e d 7 px x px x y qx x C −∫ ∫ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ （ ） 它即为方程（ 4）的通解．
注意： (1)在求解一阶线性微分方程时，（7)式可当作公 式来用. (2)第（6)式可改写为 对应的齐次 取C=0时，得出 线性方程（2)通解 方程(4)的一个特解 因此一阶非齐次线性微分方程的通解等于它所对应的 齐次线性方程的通解与它的一个特解之和， 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 注意： （ 1）在求解一阶线性微分方程时， （ 7 ）式可当作公 式来用． （ 2 ） 第（ 6）式可改写为 ( )d ( )d ( )d e e ( )e d px x px x px x y C qx x − − ∫∫ ∫ = + ∫ ， 对应的齐次 线性方程（ 2）通解 取 C = 0 时，得出 方程（ 4）的一个特解 因此一阶非齐次线性微分方程的通解等于它所对应 的 齐次线性方程的通解与它的一个特解之和．
例1求微分方程y+y sinx 的通解 X X 解：显然，原方程是一阶非齐次线性方程， 这里p()=1， 9(x)=s nx X 于是，所求通解为 -ef[me+C dx -e{四exc =1(-c0sx+C) X 2009年7月27日星期一 7 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 例 1 求微分方程 1 sin x y y x x ′ + = 的通解． 解 ：显然，原方程是一阶非齐次线性方程， 这里 1 p x( ) x = ， sin ( ) x q x x = ． 于是，所求通解为 1 d e x x y − ∫ = 1 in d d s e x x x C x x ⎛ ⎞ ∫ ⎜ ⎟ ⋅ + ⎝ ⎠ ∫ ( )d ( )d e ( )e d px x px x y qx x C −∫ ∫ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ln sin ln e ed x x x x C x − ⎛ ⎞ = ⋅+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 ( cos ) x C x =− +
5 例2求方程少-2少=x+的通解 dx x+1 解：显然，原方程是一阶非齐次线性方程， 在此，我们不直接套公式，而采用常数变易法来求解 先求对应的齐次方程的通解，由少-2少=0分离变量，得 x+1 两端和分，符时应来次方程的通解为)兮+以，共中 C为任意常数， 再利用常数变易法，设原方程的通解为 y4(xyx+1)2, (8) 2009年7月27日星期一 8 目录○ (上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 例 2 求方程 5 2 d 2 ( 1) d 1 y y x x x − =+ + 的通解． 解 ：显然，原方程是一阶非齐次线性方程， 在此，我们不直接套公式，而采用常数变易法来求解． 先求对应的齐次方程的通解， 由 d 2 0 d 1 y y x x − = + 分离变量，得 1 2 d d 1 y x y x = + 两端积分，得对应齐次方程的通解为 2 1 y Cx = ( 1) + ，其中 C1 为任意常数． 再利用常数变易法，设原方程的通解为 2 y ux x = ( )( 1) + ， （ 8 ）
求导，得 =4(x)(x+I2+2u(xx+1） dx 代入原方程，整理得 u'(x)=(x+1)2 两端积分，得 -+)+c 将其代入(8)式，即得到原方程的通解为 =e+a+ 2009年7月27日星期一 9 目录会 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 求导，得 d 2 ( )( 1) 2 ( )( 1) d y u x x ux x x = ′ ++ + 代入原方程，整理得 1 2 ux x ′( ) ( 1) = + 两端积分，得 3 2 ( ) 2 ( 1) 3 u x = x + + C 将其代入（ 8）式，即得到原方程的通解为 2 3 2 2 ( 1) ( 1) 3 y x x C ⎡ ⎤ + ⎢ + + ⎣ = ⎥ ⎦
例3求方程dy 1 的通解. dx x+y 解：把所给方程变形 dx=x+y,即 x-x=y. d d d 显然，这是一个一阶线性微分方程： 这里p(y)=-1,q(y)=y. 于是，所求通解为 m dyc) -e(Jye'dy+c) =Ce'-y-1 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 例 3 求方程 d 1 d y x x y = + 的通解． 解 ：把所给方程变形为 d d x x y y = + ，即 d d x x y y − = ． 显然，这是一个一阶线性微分方程． 这里 p y() 1 = − ， qy y ( ) = ． 于是，所求通解为 ( 1) d d ( 1) e ed y y x y y C − − − ∫ ∫ ⎛ ⎞ = ⋅+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ e ed ( ) y y y yC − = + ∫ e 1 y = −− C y