第十一章 第乌节高阶我性微今方程 (Higher linear differential equation) 一、二阶线性微分方程举例 二、二阶线性微分方程的解的结构 三、非齐次线性方程与 其对应齐次方程解的关系 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第六节 高阶线性微分方程 第十一章 (Higher linear differential equation) 一、二阶线性微分方程举例 二、二阶线性微分方程的解的结构 四、小结与思考练习 三、非齐次线性方程与 其对应齐次方程解的关系
一、二阶线性微分方程举例 例1质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上， 当重力与弹性力抵消时，物体处于平衡状态，若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开，物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动，阻力的大小与运动速度儿 成正比，方向相反.建立位移满足的微分方程 解：取平衡时物体的位置为坐标原点， 建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(). 南0 (1)自由振动情况.物体所受的力有： 弹性恢复力f=-kx(虎克定律) X 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例 1 质量为 m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上 , 力作用下作往复运动 , x x o 解 : 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开 , 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点 , 建立坐标系如图 . 设时刻 t 物位移为 x ( t). (1) 自由振动情况 . 弹性恢复力 物体所受的力有 : f kx = − (虎克定律 ) 成正比, 方向相反 .建立位移满足的微分方程
阻力R=-H dx 据牛顿第二定律得m d'x=-kx-udt dx d"x dx 即 d? +u+kx=0 这就是在有阻尼的情况下，描述物体自由振动的方程。 (2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力 psinot作用，则得强迫振动方程： d2x dx "dt"dt +kx=psin @t 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 据牛顿第二定律得 2 2 d d d d x x m kx t t =− − μ 阻力 t x R d d −= μ 2 2 d d 0 d d x x m kx t t + μ + = 这就是在有阻尼的情况下，描述物体自由振动的方程 。 即 (2) 强迫振动情况 . 若物体在运动过程中还受铅直外力 p t sin ω 作 用 ，则得强迫振动方程 : 2 2 d d sin d d x x m kxp t t t + += μ ω
可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是二 阶微分方程而且未知函数及其各阶导数都是一次幂的， 我们把这种方程称为二阶线性微分方程。其一般形式可 表示为 y"+P(x)y'+e(x)y=f(x), 其中的已知函数P(x),Q(x)称为微分方程的系数， 方程右端的函数f(x)称为方程的自由项. n线性微分方程的一般形式为 ym）+a(x)ym-+.+an-1(x)y'+an(x)y=f(x) 「f(x)丰0时，称为非齐次的方程 f(x)=0时，称为齐次的方程. 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是 二 阶微分方程而且未知函数及其各阶导数都是一次幂的， 我们把这种方程称为二阶线性微分方程。其一般形式可 表示为 y Pxy Qxy f x ′′ ′ + ( ) ( ) ( ), + = 其中的已知函数 P x( ) ，Q x( ) 称为微分方程的系数 ， 方程右端的函数 f ( ) x 称为方程的自由项 ． n 阶线性微分方程的一般形式为 )( )()()( 1 )1( 1 )( yxay xfyxayxan n n n + ++ − ′ =+ − " 时, 称为非齐次的方程 f x ≡ 0)( 时, 称为齐次的方程 . f x ≡ 0)(
二、线性齐次方程解的结构 定理1若函数1(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解.（叠加原理） 证：将y=C1y1(x)+C2y2(x)代入方程左边，得 [C1y"+C2y2]+P(x)[C1+C2y2] +Q(x)[C1y1+C2y2] =C[y1+P(x)y1+Q(x)y1] +C2[y2+P(x)y2+Q(x)y2]=0 证毕 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 )[( ] + P Cx y11 ′ + [)( ] + CxQ y11 + = 0 证毕 二、线性齐次方程解的结构 )(),( 21 若函数 xyxy 是二阶线性齐次方程 y′′ + P ′ + yxQyx = 0)()( 的两个解 , 也是该方程的解 . 证 : )()( 2211 将 = + xyCxyCy [ ] 11 代入方程左边, 得 C y′′+ 22 C y′′ 22 C y′ 22 C y ])()([ 11 1 1 = yC ′′ + P x ′ + Qy x y ])()([ 22 2 2 + C y′′ + P x y′ + xQ y (叠加原理 ) )()( 2211 则 y = C y + Cx y x ,( ) CC 21 为任意常数 定理1
说明： y=C11(x)+C2y2(x)不一定是所给二阶方程的通解. 例如，y(x)是某二阶齐次方程的解，则 y2(x)=2y1(x)也是齐次方程的解 但是 C1y1(x)+C2y2(x)=(C1+2C2)1(x) 并不是通解 为解决通解的判别问题，下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 2009年7月27日星期一 6 目录○ 、上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 不一定是所给二阶方程的通解 . 例如 , )( 1 y x 是某二阶齐次方程的解 , )(2)( 2 1 y x = y x 也是齐次方程的解 )()2()()(11 22 121 C y x + C y x = C + C y x 并不是通解 但是 )()( 2211 y = C y x + C y x 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关 与 线性无关概念. 说明 :
定义设y(x),y2(x),.,yn(x)是定义在区间I上的 n个函数，若存在不全为0的常数k1,k2,.,kn,使得 ky1(x)+k2y2(x)++knyn(x)≡0，x∈I 则称这个函数在I上线性相关，否则称为线性无关， 例如，1，cos2x,sin2x,在(-0，+0)上都有 1-cos2x-sin2x=0 故它们在任何区间I上都线性相关； 又如，1，x,x2,若在某区间I上k1+k2x+k3x2三0， 则根据二次多项式至多只有两个零点，可见k,k2,k3 必需全为0，故1，x,x2在任何区间I上都线性无关 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 )(,),(),( 21 y x y x y x 设 " n 是定义在区间 I 上的 n 个函数 , , 21 n k k " k 使得 k y x k y x k y x x I + 2211 )()( + " + nn ≡ ,0)( ∈ 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关 . 例如， ,sin,cos,1 22 xx 0sincos1 2 2 在 (−∞ , +∞ )上都有 − x − x ≡ 故它们在任何区间 I 上都线性相关 ; 又如， ,1 2 xx 若在某区间 I 上 ,0 2 321 xkxkk ≡++ 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 321 k k , k 必需全为 0 , 可见 2 故 ,1 xx 在任何区间 I 上都 线性无关 . 若存在不全为 0 的常数 定义
两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件： 1(x),y2(x)线性相关 二存在不全为0的k1,k2使 k1y1(x)+k2y2(x)≡0 y(x) k2 (无妨设 y2(x) k k1≠0) 1(x),y2(x)线性无关 (x) y2(x) 丰常数 可微函数y1,y2线性无关 y1(x) (x) ≠0（证明略） 思考：若1(x),y2(x)中有一个恒为0，则(x),2(x) 必线性 相关 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 )(),( 21 y x y x 线性相关 存在不全为 0 的 21 k , k 使 0)()( k y x + k y2211 x ≡ 1 2 2 1 )( )( k k xy xy −≡ ( 无妨设 k1 ≠ )0 )(),( 21 y x y x 线性无关 )( )( 2 1 xy xy ≡ 常数 思考 : )(),( 21 若 xyxy 中有一个恒为 0, 则 )(),( 21 y x y x 必线性 相关 0 )()( )()( 21 21 ≠ ′′ xyxy xyxy 21, (证明略 ) 可微函数 y y 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件 : 线性无关
定理2若y1(x),y2(x)是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解，则y=C1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常 数)是该方程的通解.（证明见课本） 例如，方程y"+y=0有特解y1=c0sx,y2=sinx,且 2=tanx丰常数，故方程的通解为 y=CI cosx+C2 sinx 推论若1，y2,.,yn是n阶齐次方程 ym）+a1(x)yn-）+.+an-1(x)y'+an(x)y=0 的n个线性无关解，则方程的通解为 y=CM+.+Cnyn(Ck为任意常数) 2009年7月27日星期一 9 目录 、上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 )(),( 21 若 xyxy 性无关特解, 则 )()( 2211 x 是二阶线性齐次方程的两个线 y = C y + Cx y 数) 是该方程的通解 . 例如, 方程 ′′ + yy = 0 ,cos 1 有特解 y = x ,sin 2 y = x 且 ≡常数 , 故方程的通解为 y = 1 cos + 2 sin xCxC (证明见课本 ) 推论 n , yyy 若 21 " 是 n 阶齐次方程 )( 0)()( 1 )1( 1 )( + ++ − ′ =+ − yxay yxayxan n n n " 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 ( ) = 11 + " + nn CyCyCy k为任意常数 x y tan 2 = 1 y ,( CC 21 为任意常 定理 2
定理3设y*(x)是二阶非齐次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)O 的一个特解，Y(心)是相应齐次方程的通解，则 y=Y(x)+y*(x) ② 是非齐次方程的通解. 证：将y=Y(x)+y*(x)代入方程①左端，得 (Y"+y*")+P(x)(Y'+y*")+Q(x)(Y+y*) =(y*"+P(x)y*'+Q(x)y*)+(Y"+P(x)Y'+Q(x)Y) =f(x)+0=f(x) 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 设 xy )(* 是二阶非齐次方程 的一个特解, y = Y x + y x)(*)( Y (x) 是相应齐次方程的通解 , y′′ + P ′ + yxQyx = f x)()()( 则 是非齐次方程的通解 . 证 : 将 y = Y x + y x)(*)( 代入方程①左端, 得 Y ′′ + y ′′)*( + P x Y′ + y ′)*()( = y ′′ + P ′ + yxQyx )*)(*)(*( + Y′′ + P x Y′ + xQ Y))()(( = f x + = f x)(0)( + xQ Y + y )*()( ② ① 定理 3