第八章 第二节二重积分的计算方法 (Calculation of Double Integral) 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考练习 2009年7月25日星期六 1 目录 (上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 1 目录 上页 下页 返回 第二节 二重积分的计算方法 第八章 (Calculation of Double Integral) 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考练习
一、利用直角坐标计算二重积分 设曲顶柱体的顶为z=∫(x,y)≥0 曲顶柱体的底为 y=02(x) -ga ↑ 任取x∈[a,b],平面x=xo截柱体的 xo bx 拔西积为4x)-f化ay y=0(x) 故曲顶柱体体积为 X型区域 Vfd-x)dy ldx 2009年7月25日星期六 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 2 目录 上页 下页 返回 一、利用直角坐标计算二重积分 x b a d] [ ∫ = 曲顶柱体的 底 为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤ ≤ = bxa xyx yxD )()( ),( ϕ1 ϕ 2 任取 0 x ∈[ , ], a b 平面 0 = xx 故曲顶柱体体积 为 ∫ ∫ = D V yxf d),( σ 0 0 2 1 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( , )d x x A f x x y y ϕ ϕ = 截面积 为 ∫ 2 1 ( ) ( ) ( , )d x x f y x y ϕ ∫ϕ ( ) d b a = A x x ∫ 截柱体的 )( 2 y = ϕ x )( 1 y = ϕ x z x y o a b 0 x D 设曲顶柱体的 顶 为z f = ( , x y ) ≥ 0 X型区域
同样，若曲顶柱的底为 D={(x,y)41(y)≤x≤2(y),c≤y≤d} 则其体积可按如下两次积分计算 y r=∬pfxy)do f(dxdy dydx Y型区域 2009年7月25日星期六 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 3 目录 上页 下页 返回 y d c o x )( 2 x = ψ y )( 1 x = ψ y y y d c [ d] ∫ = = { ψ 1 ≤ ≤ ψ 2 ),()(),( ≤ ≤ dycyxyyxD } 同样, 若曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 ∫∫ = D V yxf d),( σ 2 1 ( ) ( ) ( , )d y y f x x y ψ ∫ψ 2 1 ( ) ( ) ( , )d y y f x x y ψ ∫ ∫ψ = d c d y Δ Y型区域
说明：(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域， 则有 J∬nfx,y)drdy d =axny x =Vi 2(y) =dfxr 为计算方便，可选择积分序，必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂，可将它分成若千y X型域或Y型域，则 ,=n+j,+小o 2009年7月25日星期六 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 4 目录 上页 下页 返回 o x y ∫∫D dd),( yxyxf )( 2 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. y = ϕ x o x y D a b )( 1 x = ψ y )( 2 x = ψ y d c 则有 x )( 1 y = ϕ x y yyxf x x d),( )( )( 2 1 ∫ ϕ ∫ ϕ = b a d x xyxf y y d),( )( )( 2 1 ∫ ψ ∫ ψ = d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D 1 D 2 D 3 X-型域或 Y-型域 , ∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ++= 1 2 DDDD 3 则 说明 : (1) 若积分区域既是X–型区域又是 Y –型区域
补充说明（课本没有）： 当被积函数∫(x,y)在D上变号时，由于 fx)=fx月+f)_x,yy-f,) 2 2 f(x,y) f2(x,y)均非负 .∬nfx,y)dxdy=∬nfx,y)dxdy -J∬n(x,)dxdy 因此上面讨论的累次积分法仍然有效. 2009年7月25日星期六 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 5 目录 上页 下页 返回 f x y),( − + = 2 ),(),( ),( f yx f yx yxf 2 f yx − f yx ),(),( ),( 1f x y ),( 2f x y 均非负 ∫ ∫ ∫ ∫ ∴ = D D dd),(dd),( yxyxfyxyxf 1 在 D 上变号 时, 由于 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . ∫∫ − D dd),( yxyxf2 当被积函数 补充说明（课本没有）：
例1计算积分∬上dd,其中D是正方形区域：1≤x≤2,0≤ys1. 解：川dxdy=dr心d-d=4 例2计算∬W1+x-ydo,其中D是由直线y=x,x=-1 和y=1所围成的闭区域. 解题步骤：（1)画出积分区域D (2)D即可看成X-型，又可看成Y-型 =X 2009年7月25日星期六 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 6 目录 上页 下页 返回 例 1 计算积分 2 d d D y x y x ∫∫ ，其中 D 是正方形区域: 1 2, 0 1 ≤ x y ≤ ≤≤ . 解： 2 d d D y x y x ∫∫ 2 1 2 1 0 d d y x y x = ∫ ∫ 2 2 1 11 1 d . 2 4 x x = = ∫ 例 2 计算 2 2 1 d D y xy + − σ ∫∫ ，其中 D 是由直线 y x = ，x = − 1 和 y = 1所围成的闭区域． 解题步骤： （ 1 ）画出积分区域 D （2） D 即可看成 X − 型，又可看成 Y − 型
例3计算小Dxdo,其中D是抛物线y2=x及直线 y=x-2所围成的闭区域」 解：为计算简便，先对x后对y积分， 则 1 0 4 x wno-时dx y=x-2 =L22yay=0+22-y51d 4 例4末sn 解题思路：无法直接计算，但交换积分顺序后可以求解。 2009年7月25日星期六 / 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 7 目录 上页 下页 返回 ,d ∫∫D yx σ 其中D 是抛物线 = xy2 所围成的闭区域. 解 : 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, ⎩ ⎨ ⎧ D : ∫ d xyx ∴ ∫ ∫D yx d σ ∫− = 2 1 d y [ ] ∫− + = 2 1 2 2 2 1 2 dyyx y y ∫− = −+ 2 1 52 d])2([ 2 1 yyyy 8 45 = D = xy 2 = xy − 2 2 − 1 4 o y x 2 y 2 yxy +≤≤ − ≤ y ≤ 21 2 y y + 2 y = x − 2 及直线 则 例 3 计算 例 4 求 1 1 0 sin d d y x y x x ∫ ∫ . 解题思路：无法直接计算，但交换积分顺序后可以求解
例5求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积. 解：设两个直圆柱方程为 x2+y2=R2,x2+22=R2 利用对称性，考虑第一卦限部分， 2+y2=R2 其曲顶柱体的顶为z=√R2-x2 (Gx,)eD:0≤y≤VR2- 0≤x≤R 2=R2 则所求体积为 r-80nR-rdxdy=8a2-dgdy =80(R2-x2)dx=16R3 2009年7月25日星期六 8 目录○ 上页) 下页 返回
2009年7月25日星期六 8 目录 上页 下页 返回 例 5 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. x y z R o R 解 : 设两个直圆柱方程为 , 222 =+ Ryx 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 V yxxR D 8 dd22 ∫∫ = − ∫ − 22 0 d xR y xxR R d)(8 0 22 ∫ −= 3 3 16 = R 222 =+ Rzx 22 z = R − x ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ −≤≤ ∈ 0 0 :),( 22 Rx xRy Dyx xxR R 8 d 0 22 ∫ −= 222 =+ Ryx 222 =+ Rzx D
二、利用极坐标计算二重积分 0=0+△8 在极坐标系下，用同心圆r=常数 0=0x 及射线0=常数，分划区域D为 △Ok △ok(k=1,2,.,n 0 r三k→X 则除包含边界，点的小区域外，小区域的面积 Aok=k+△n)2.△0k-n2·△0e =[+(+△)]Ak·△Bk k△k =rkAk·△Ok θk 在△Ok内取点(%，0)，对应有 k=rk cosek,nk=rk sinek 2009年7月25日星期六 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 9 目录 上页 下页 返回 二、利用极坐标计算二重积分 x y o k k k = Δrr ⋅Δ θ k k k k k k ξ = r θ η = r sin,cos θ 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 对应有 Δ σ k kkkkk = + + Δ )]([ Δrrrr ⋅Δ θ 2 1 k n),2,1( Δ σ k = " 在 Δ σ k ),( k k r θ θ = θ k θ = θ + Δ θ kk k =rr Δ σ k kkr Δ⋅− θ 2 2 1 内取点 kkk rr Δ⋅Δ+= θ 2 2 1 )( 及射线 θ =常数, 分划区域D 为 kr k Δ r Δ θ k k k r Δ θ
G%aa,-m2ios,sm可nA0 2 2-→0 k=1 k=1 即jnfx,y)do=j∬f(rcose,rsin)rdrd0 设e96公0m则 f(rcose,rsinrdrdo =2dareas8,rsn0rdr ar=0(0) 0 2009年7月25日星期六 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 10 目录 上页 下页 返回 kkkkkkk n k rrrrf θθθ λ = ∑ ΔΔ = → )sin,cos(lim 1 0 kk n k k f σηξ λ ∑ Δ = → ),(lim 1 0 ∫ ∫D 即 yxf d),( σ rr dd θ ∫ ∫ = D rrf θθ )sin,cos( α β D o )( r = ϕ1 θ ( ) r = ϕ 2 θ )( α r = ϕ1 θ β o )( r = ϕ 2 θ ∫ )( )( 2 1 d)sin,cos( ϕ θ θϕ θθ rrrrf , )()( : 1 2 ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤ ≤ βθα ϕ θ r ϕ θ D 则 ∫∫D rrrrf dd)sin,cos( θθθ ∫ = β α d θ 设