第六章 第二节数量积向量积*混合积 (Scalar Product Vector Product Mixed Product of Vectors) 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积* 四、小结与思考练习 2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第二节 数量积 向量积 *混合积 第六章 （Scalar Product 、Vector Product & Mixed Product of Vectors ） 四、小结与思考练习 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 *
一、两向量的数量积 引例设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 W=F3 cos0 1.定义 设向量d,b的夹角为0，称 M 石61cos0记作 ab W=F.s 为a与b的数量积（点积）. 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 M 1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 θ 的直线移动, θ W = 1. 定义 设向量 的夹角为 θ ,称 记作 数量积 (点积) . 引例 设一物体在常力 F 作用下, F 位移为 s , 则力 F 所做的功为 sF cos θ G W sF G = ⋅ M 2 a b cos θ a⋅ b 为 a 与 b 的 a, b s
当a≠0时，b在a上的投影为 万cos0记作Pri,6 故 a-B=aPrjdb 同理，当b≠0时， a.b=bPrjra 2.性质 a≠0，b≠0 (1)a.a=a 则a.b=0 (2)a,b为两个非零向量，则有 a.b=0-aLb (d,= 2 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 θ 当 时,0G G a ≠ 在ab 上的投影为 G G 记作 故 同理 时当 ,0, G G b ≠ a b G b jrP 2. 性质 为两个非零向量, 则有 Prj a b cos θ G b ba =⋅ jrP a G ba ba =⋅ )1( aa =⋅ 2 a ,)2( ba ba =⋅ 0 ⊥ ba b a 则 ⋅ba = 0 2 π ba ),( = ≠ ba ≠ 0,0
3.运算律 (1)交换律a.b=bd (2)结合律(2,4为实数) a (2a)b=a.(2万)=(db) (a+b) (2a)(ub)=(ad·(ub) =元u(a.b) Prje a Prjcb (3)分配律(d+b)c=d:d+b元 Prjz(@+b) 事实上，当c=可时，显然成立；当c≠0时 (@+b).c=cPrjc(a+B)=Gl(Prjc@+PrjzB) =Prjea+c Prjeb=a.c+b.c 2009年7月3日星期五 4 目录上页> 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 (1) 交换律 (2) 结合律 λ μ为实数),( ⋅ = ⋅ abba λ )( ⋅ba = ⋅ λ ba )( = λ ⋅ba )( λ ⋅ μ ba )()( = λ ( ⋅ μ ba )( ) = λ μ ⋅ba )( (3) 分配律 ( + )⋅ = ⋅ + ⋅ cbcacba 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当 c ≠ 0 时 c ( ) a b + b a b c a rP j G c rP j G ( + )⋅ cba ( ba ) c = c jrP + = c ( ba ) c c P r j G + P r j G = c jrP c G a + c jrP c G b = ⋅ ca + ⋅ cb Prj ( ) c G a b + 3. 运算律
例1证明三角形余弦定理 c2 a2+b2-2abcos0 证：如图.设 CB=a,CA=b,AB=c 则 c-a-b cP=(d-d3)=dd+6-万-2à万 a+B2-2a Bleoso a=a,b=b,c=|ol c2 a2+b2-2abcos0 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 A B C θ a b c cos2 θ 222 = + − abbac 证 : 则 cos2 θ 222 = + − abbac 如图 . 设 C B = a, C = bA , A B = c = − bac = 2 c − ⋅ − baba )()( = ⋅ aa + ⋅bb − 2 ⋅ba 2 = a 2 + b − ba cos2 θ = = , = ccbbaa 例1 证明三角形余弦定理
4.数量积的坐标表示 设a=a,i+a,j+a.元，万=bi+b,j+b.,则 a-b=(ai+a,+a.)(b.i+b,+b.) 7.7=j.j=k.k=1,7.j=j.k=ki=0 a.b=axbx +ayby+ab: 5.两向量夹角的余弦的坐标表示 当a,万为非零向量时，由于a.万=acos0,得 c0s0= a.b axbx +ayby +a-b- abya+a+avb+6+b好 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 设 则 = ,1 = 0 zzyyxx = + + bababa 当 为非零向量时, cos θ = = zzyyxx + + bababa 222 zyx ++ aaa 222 zyx ++ bbb 由于 ⋅ ba = ba cos θ aiaa j a k , = + + zyx bibb j b k , = + + zyx ⋅ba = ( + aia j + a k )⋅ zyx ( bib j b k ) + + zyx ⋅ ii = j ⋅ j = k ⋅ k i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅i ⋅ba ⋅ ba ba , ba 5. 两向量夹角的余弦的坐标表示 , 得 4. 数量积的坐标表示
例2（补充题)已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2) 求∠AMB.(自学课本例2) A 解：MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) B 则coS∠AMB= MA.MB MAMB 1+0+0 1 √2√2 2 故 ∠AMB=π 3 2009年7月3日星期五 7 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 MA = ,)( MB = )( = B M M A B ,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1( ∠ AMB . A 解 : ,1 ,1 0 ,1 ,0 1 则 cos ∠AMB = 1 + 0 + 0 2 2 2 1 = 3 π ∠AMB = 求 MA⋅ MB MA MB 故 例 2（补充题） 已知三点 （自学课本 例 2 ）
二、两向量的向量积 引例设O为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为0 的力下作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M: M=00F=pFsine OP三F三M符合右手规则 M⊥OP M⊥F 00=OP sine M 2009年7月3日星期五 目录 上页下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 二、两向量的向量积 引例 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为 θ OQ = O P L θ θ Q 符合右手规则 = OQ F = OP F sin θ OP sin θ FOP ⇒⇒ M M ⊥ OP M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M ⊥ F
1.定义 设a,b的夹角为0，定义 方向：cLa,cLb且符合右手规则 向登c{模：c=aism6 称c为向量a与b的向量积，记作 c=axb(叉积) 引例中的力矩M=OP×F c-axb 思考：右图三角形面积 S= axb b 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 定义 向量 方向 : (叉积 ) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 设 , ba 的夹角为 θ， c ⊥ ac , ⊥bc c = a b sin θ b a c 称 c 为向量 与ba 的 = ×bac 引例中的力矩 = ×ba M = × FOP 思考 : 右图三角形面积 θ a b ×ba 2 1 S ＝ 1. 定义
2.性质 (1)axa=0 (2)a,b为非零向量，则axb=0二a∥6 证明：当d≠0，b≠0时， axb=0 b sine=0 二sin0=0,即0=0或π二a∥b 3.运算律 (①)axb=-bxd (2)分配律(a+b)xc=axc+bxc (证明略) (3)结合律(2a)xb=a×(2b)=(adxb) 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 为非零向量, 则 θ = 0sin ，即 θ = 0 或 π )1( × aa = 0 ,)2( ba ×ba = 0 ∥ ba 当 ≠ ba ≠ 时,0,0 ∥ ba ×ba = 0 a b sin θ = 0 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略 ) = − × ab + )( × cba = × + × cbca λ )( ×ba = × λ ba )( = λ ×ba )( )1( ×ba 证明 : 2. 性质