第三章 第五节岛数的极值与最大值、最小值 Extremum Extremes of Function) 一、复习引入 二、极值的第一充分条件 三、极值的第二充分条件 四、最值问题 五、小结与思考练习 2009年7月3日星期五 1 目录○ 上页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第五节 函数的极值与最大值、最小值 第三章 四、最值问题 三、极值的第二充分条件 二、极值的第一充分条件 （Extremum & Extremes of Function） 一、复习引入 五、小结与思考练习
一、复习引入(Introduction) 1.极值定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x。是 (a,b)内的一点，如果存在x的一个邻域U(x)，对于 U(x)内的任何，点x,有 f(x)≤f(x)或f(x)≥f(x), 则称f(x)是函数f(x)的一个极大值（或极小值），点x 是(x)的一个极大值点（或极小值，点），函数的极大值、 极小值统称为极值极大值，点与极小值点统称为极值点. 2.费马(Femat)引理如果函数f(x)在，点x,可导， 而且在点x取到极值，则f'(x)=0 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、复习引入（Introduction） 1．极值定义 设函数 f ( ) x 在区间(,) a b 内有定义， 0 x 是 (,) a b 内的一点，如果存在 0 x 的一个邻域 0 U x( )，对于 0 U x( )内的任何点 x ，有 0 fx fx () ( ) ≤ 或 0 fx fx () ( ) ≥ , 则称 0 f ( ) x 是函数 f x( ) 的一个极大值（或极小值），点 0 x 是 f x( ) 的一个极大值点（或极小值点），函数的极大值、 极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点． 2．费马（Femat）引理 如果函数 f x( )在点 0 x 可导， 而且在点 0 x 取到极值，则 0 f x ′( ) 0. =
由费马引理知，驻，点(Stagnation Point),即导数为 零的点是函数可能的极值点。 除驻点外函数还有没有其他的点是可能的极值，点？ 在可能的极值，点中究竞那些点是极值点？ 是极值，点时，是极大值点还是极小值，点呢？ 研究极值到底有什么用？. 为此，这节课我们就来研究函数极值点的两个充分 条件，并在此基础上讨论最值问题！ 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 由费马引理知，驻点（Stagnation Point），即导数为 零的点是函数可能的极值点。 除驻点外函数还有没有其他的点是可能的极值点？ 在可能的极值点中究竟哪些点是极值点？ 是极值点时，是极大值点还是极小值点呢？ 研究极值到底有什么用？. 为此，这节课我们就来研究函数极值点的两个充分 条件，并在此基础上讨论最值问题！
二、第一充分条件(The First Sufficient Condition) 定理1（第一充分条件)设函数f(x)在，点x,的某个邻 域U(x,6)内连续，在去心邻域U(x,6)内可导. (1)若x∈(x-6,x)时，f'(x)>0,(f'(x)0) 则函数f(x)在点x,处取得极大值；（极小值） (2)若x∈U(x,6)时，f'(x)的符号保持不变， 则，点x不是f(x)的极值点. 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 二、第一充分条件（The First Sufficient Condition） 定理 1（第一充分条件） 设函数 f ( ) x 在点 0 x 的某个邻 域 0 U x( ,) δ 内连续，在去心邻域 o 0 U x( ,) δ 内可导． （1）若 0 0 x∈ − ( ,) x x δ 时， f x ′() 0 > ， 而 0 0 x xx ∈ + (, ) δ 时， f x ′() 0 （极小值） （2）若 o 0 x Ux ∈ ( ,) δ 时， f ′( ) x 的符号保持不变， 则点 0 x 不是 f ( ) x 的极值点．
0 (是极值，点情形) Xo (不是极值，点情 形) 2009年7月3日星期五 5 上页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 x y o x y x0 o 0 x + − − + （是极值点情形） x y o x y o 0 x 0 x + − − + （不是极值点情 形）
应当指出的是， 除驻，点是函数可能的极值，点外，导数不存在的，点 也可能是函数的极值点· 例如，对于函数f(x)=x|,我们曾经证明过它在 x=0处导数不存在，但(0,0)点显然是极值，点！ 又如，对于函数f(x)=x3,y'(0)不存在. 因为当x≠0时y= 1 >0，故由第一充分条件知 3x2 x=0不是y=x的极值点 2009年7月3日星期五 6 目录 上页( 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 应当指出的是， 除驻点是函数可能的极值点外，导数不存在的点 也可能是函数的极值点． 例如，对于函数 f () | | x x = ，我们曾经证明过它在 x = 0 处导数不存在，但(0,0) 点显然是极值点！ 又如，对于函数 1 3 f ( ) x x = ，y′(0) 不存在． 因为当 x ≠ 0 时 3 2 1 0 3 y x ′ = > ，故由第一充分条件知 x = 0 不是 3 y x = 的极值点
根据上述讨论，我们可按下列步骤来求函数∫(x) 的极值点和相应极值： (1)求出导数f'(x),进而求出f(x)全部驻点或 导数不存在的，点； （2)考察f'(x)在各个驻点或导数不存在的点的 左、右邻域内符号的变化，判定该点是否为极值，点， 如果是极值点，进一步确定是极大值，点还是极小值 点； (3)求出f(x)的极值. 例1求函数f(x)=6x2-x3的极值.（老师讲解） 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 我们可按下列步骤来求函数 f ( ) x 的极值点和相应极值： （1）求出导数 f ′( ), x 进而求出 f ( ) x 全部驻点或 导数不存在的点； （2）考察 f ′( ) x 在各个驻点或导数不存在的点的 左、右邻域内符号的变化，判定该点是否为极值点， 如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值 点； 根据上述讨论， （3）求出 f ( ) x 的极值． 例 1 求函数 3 2 3 f () 6 x xx = − 的极值．（老师讲解）
例2设函数f(x)在(-o,+o)内 连续，其导函数的图形如右图所 示，试确定函数f(x)的极大值和 极小值点的个数.（课本例4） x,O/x 提示：(1)从图形可以看出， f'(x)=f'(x2)=f'(x3)=0 且在x=0处导数不存在。 （2)根据驻，点与导数不存在点左右两端的 符号确定是否极值，点。 答案：有(x,f(x)和(0，f(O》两个极大值，点； 有(x2,f(x2)和(x3,f(x3)两个极小值点。 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 例 2 设函数 f ( ) x 在(,) −∞ +∞ 内 连续，其导函数的图形如右图所 示，试确定函数 f ( ) x 的极大值和 极小值点的个数.（课本例 4） 提示：（1）从图形可以看出， 123 fx fx fx ′() () () 0 = ′ ′ = = 且在 x = 0 处导数不存在。 （2） 根据驻点与导数不存在点左右两端的 符号确定是否极值点。 答案：有( ) 1 1 x ,() f x 和(0, (0)) f 两个极大值点； 有( ) 2 2 x ,() f x 和( x3 3 ,() f x ) 两个极小值点
三、第二充分条件(The Second Sufficient Condition) 定理2（第二充分条件)设函数f(x)在，点x,处具有 二阶导数，并且f'(x)=0,f"(x)≠0.则 (1)若当f"(x)0时，函数f(x)在点x,处取得极小值； 注1：本定理可利用极限的保号性加以证明； 注2：当"(x)=0时，本定理失效！ 例如，函数f(x)=x3时，本定理失效！ 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 三、第二充分条件（The Second Sufficient Condition） 定理 2（第二充分条件） 设函数 f x( ) 在点 0 x 处具有 二阶导数，并且 0 f x ′()0 = ， 0 f x ′′()0 ≠ ．则 （1）若当 0 f x ′′()0 时，函数 f ( ) x 在点 0 x 处取得极小值； 注 1：本定理可利用极限的保号性加以证明； 注 2：当 0 f x ′′()0 = 时，本定理失效！ 例如，函数 3 fx x ( ) = 时，本定理失效！
例3求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值 解题思路： (课本例2) (1)求出f'(x),并求出f(x)全部驻点； (2)验证全部驻，点的二阶导数f"(x)是否为零。 如果驻点的二阶导数f"(x)不等于零，则利用第 二充分条件判定； 如果驻点的二阶导数∫"(x)等于零，此时，第二 充分条件失效，可利用第一充分条件判定。 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 例 3 求函数 2 3 fx x ( ) ( 1) 1 = − + 的极值． 解题思路： （课本 例 2） （1）求出 f ′( ), x 并求出 f ( ) x 全部驻点； （2）验证全部驻点的二阶导数 f ′′( ) x 是否为零。 如果驻点的二阶导数 f ′′( ) x 不等于零，则利用第 二充分条件判定； 如果驻点的二阶导数 f ′′( ) x 等于零，此时，第二 充分条件失效，可利用第一充分条件判定