第一章 岛教与极限 函数一研究对象 高等数学基础 极限一研究方法 连续一研究桥梁 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 第一章 函数与极限 高 等 数 学 基 础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁
第一节高数(Function) 一、集合 二、区间和邻域 三、函数的概念 四、函数的几种特性 五、反函数与复合函数 六、初等函数 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 第一节 函 数 二、区间和邻域 一、集 合 三、函数的概念 四、函数的几种特性 五、反函数与复合函数 六、初等函数 (Function)
一、集合(Set) 1.元素与集合 具有某种特定性质的事物的总体称为一个集合 组成集合的事物称为元素。 注1：集合通常用大写的英文字母A,B,C,.表示 其元素则用小写的英文字母a,b,c,.表示 注2：元素M属于集合A,记作a∈A. 元素a不属于集合A,记作a庄A 注3：含有有限个元素的集合称为有限集； 不是有限集的集合称为无限集， 2009年7月3日星期五 目录今 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 一、集 合(Set) 1. 元素与集合 具有某种特定性质的事物的总体称为一个集合. 组成集合的事物称为元素. 注1: 集合通常用大写的英文字母 ABC ，"表示 其元素则用小写的英文字母 abc ，" 表示 a A 注2: 元素 a 属于集合 A , 记作 元素 a 不属于集合 A , 记作 ∉ a A ∈ . 注3: 含有有限个元素的集合称为有限集； 不是有限集的集合称为无限集
注4：不含任何元素的集合称为空集，记作⑦ 注5：对于数集，习惯上有如下记号 全体自然数的集合记作N 全体整数的集合记作Z 全体有理数的集合记作Q 全体实数的集合记作R M表示M中排除0的集； 注6：M为数集 M+表示M中排除0与负数的集. 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 注4: 不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 注5: 对于数集，习惯上有如下记号 全体自然数的集合记作 N 全体整数的集合记作 Z 全体有理数的集合记作 Q 全体实数的集合记作 R 注6: M 为数集 * M 表示 M 中排除 0 的集 ; M + 表示 M 中排除 0 与负数的集
2.集合之间的关系 设有集合A,B,若x∈A必有x∈B,则称A是B的 的子集，或称B包含A,记作AcB. 若ACB且BCA,则称A与B相等，记作A=B, 若ACB且A≠B,则称A是B的真子集.记作AFB 显然有下列关系： (1①)ACA;A=A;OCA (2)ACB且BcC>ACC 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 2. 集合之间的关系 的子集 , 或称 B 包含 A , 则称 A是 B 的 A ⊂ B. 若A ⊂ B 且 B ⊂ A , 则称 A 与 B 相等, A = B . 设有集合 A B, 若 x∈ A x∈ B, 记作 记作 必有 若A ⊂ B 且 A ≠ B , 则称 A 是 B 的真子集. 记作 A B≠⊂ 显然有下列关系 : ⊂ AA ;)1( = AA ; )2( A ⊂ B且B ⊂ C ⊂ CA ∅ ⊂ A
3.集合的运算 给定两个集合A和B,定义下列运算： AUB 并集AUB={xx∈A或x∈B} 交集A∩B={xx∈A且x∈B} A\BA∩B 差集A\B={xx∈A且xEB 有时我们所研究的集合A,B都是 集合的I子集，此时，称集合为全集 或基本集，称八A为的余集或补集， A 记作AC, 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 3. 集合的运算 并集 ∪ = { xBA x∈ A } 交集 ∩ = { xBA x∈ A 且 x∈ B } 差集 \ = { xBA x∈ A且 x∉ B} 定义下列运算: 有时我们所研究的集合A，B都是 A \ BA B ∪ BA A∩ B 或 ∈ Bx 给定两个集合 A 和 B ， 集合的I 子集，此时，称集合为全集 I 或基本集， 称 A I \ A 为的余集或补集， C A 记作 . C A
4.集合的运算规律 设A、B、C为任意3个集合，则集合的交、并、余 运算满足下列运算规律： 交换律A∩B=B∩A AUB=BUA 结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (AUB)UC=AU(BUC) 分配律 (A∩B)UC=(AUC)∩(BUC) (AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C) 对偶律 (A∩B)C=AUBC(AUB)C=AC∩BC 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 4. 集合的运算规律 设A 、B 、C 为任意3个集合，则集合的交、并、余 运算满足下列运算规律： 交换律 A∩ ∩ BBA = A∪ ∪ BBA = 结合律 () () AB CA BC ∩∩ ∩∩ = () () A∪∪ ∪∪ B CA BC = 分配律 ( ) ( )( ) AB C AC BC ∩∪ ∪∩∪ = ( ) ( )( ) A∪∩ ∩∪∩ B C AC BC = ( )CCC AB A B ∩ ∪ = ( )CCC 对偶律 AB A B ∪ ∩ =
二、区间和邻域(Interval and Neighborhood) 1.区间 开区间 {xa<x<b}记作(a,b). 0 闭区间 {xa≤x≤b} 记作[a,b] 0 b 2009年7月3日星期五 9 目录○ 、上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 二、区间和邻域 (Interval and Neighborhood ) 1. 区 间 开区间 { < < bxax } 记作 (,) a b ． o a b x 闭区间 { ≤ ≤ bxax } 记作 [,] a b ． o a b x
左闭右开区间 {xa≤x<b}记作[a,b). 0 b x 左开右闭区间 {xa<x≤b}记作(a,b]. o a b x 无穷区间 [a,+oo)={xa≤x} (-o,b)={xx<b} 0 x 0 大 注：两端点间的距离称为区间的长度 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 左闭右开区间 { ≤ < bxax } 记作 [,) a b ． o a b x 左开右闭区间 { < ≤ bxax } 记作(,] a b ． o a b x 无穷区间 +∞ = ≤ xaxa }{),[ −∞ = < bxxb }{),( o a x o b x 注: 两端点间的距离称为区间的长度
2.邻域 以点a为中心的任何开区间称为点M的邻域， 记作U(a. 设6是任一正数，以点a为中心，以6为半径的开区间， 即开区间(a-6,a+6)称为点a的δ邻域，记作U(a,) 6 6 a-δ a+δ x 显然，U(a,δ)={x|a-6<x<a+6} 或U(a,δ)={x|lx-akδ}. 2009年7月3日星期五 11 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 11 目录 上页 下页 返回 2.邻 域 以点a 为中心的任何开区间 称为点 a 的邻域， 记作U a( ) ． 设δ 是任一正数，以点a 为中心，以δ 为半径的开区间， 即开区间(,) a a − + δ δ 称为点 a 的δ 邻域，记作U a(, ) δ a − δ a a + δ x δ δ 显然， Ua xa x a (,) | δ = { −<<+ δ δ } 或 Ua x x a ( , ) || | δ = { − < δ }