§10.5二阶常系数线性微分方程 上次课内容复习： y"+py+qy=0(p,q为常数) 特征方程：2+pr+q=0,特征根：1,2 特征根 通 解 片≠2实根 y-Cenx+Ce* 1=乃=-号 y=(C]+Czx)ex 1,2=au±iB y=ex(CI Cos Bx+C2 sinBx)
§10.5 二阶常系数线性微分方程 上次课内容复习： y + p y + q y = 0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C e C e 1 2 实根 = 1 + 2 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 特 征 根 通 解
二、二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py'+9y=f(x)(1) 定理2.设y*(x)是二阶非齐次方程 y"+py'+qy=f(x) ① 的一个特解，Y(心)是相应齐次方程的通解，则 y=Y(x)+y*(x) 是非齐次方程的通解
二、二阶常系数非齐次线性微分方程 y py qy f x + + = ( ) (1) 设 y *(x) 是二阶非齐次方程 的一个特解, y = Y(x) + y *(x) Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 2. 则 是非齐次方程的通解 . ② ①
y"+py'+qy=f(x) ① y=Y(x)+y*(x) ② 证：将y=Y(x)+y*(x)代入方程①左端，得 (Y”+y*")+p(Y'+y*)+9(Y+y*) =(y*"+py*'+qy*)+(Y”+pY'+qY) =f(x)+0=f(x) 故y=Y(x)+y*(x)是非齐次方程的解，又Y中含有 两个独立任意常数，因而②也是通解.证毕
证: 将 y = Y(x) + y *(x) 代入方程①左端, 得 (Y + y *) + + p Y y ( * ) + + + ( ) Y pY qY = f (x) + 0 = f (x) + + q Y y ( *) ① 故 y = Y(x) + y *(x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 证毕 y = Y(x) + y *(x) ②
例如，方程y”+y=x有特解y*=x 对应齐次方程y”+y=0有通解 Y=C cosx+C2 sinx 因此该方程的通解为 y=C]cosx+C2 sinx+x 定理3设y和y是y”+py'+gy=f(x)的两个 特解，则y-是y”+py'+q心=0的一个解
例如, 方程 有特解 Y C cos x C sin x = 1 + 2 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 定理3 设 和 是 的两个 特解，则 是 的一个解。 1 y 2 y 1 2 y y −
定理4.设y(x),y,(x)分别是方程 y”+py+qy=f(x) y"+py+qy=f(x) 的特解，则y=乃+y2是方程 y"+py'+qv=f(x)+f(x) 的特解。非齐次方程之解的叠加原理
定理 4. 设 分别是方程 的特解, 则 是方程 1 2 ( ) ( ) y py qy f x y py qy f x + + = + + = 1 2 y py qy f x f x + + = + ( ) ( ) 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
例1已知微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)有三 个解片=x,2=e,=e2x,求此方程满足初始条件 y(0)=1,y'(0)=3的特解 解：y2-1与3-是对应齐次方程的解，且 2-4=e-x≠常数 y3-y1 e2x-x 因而相互独立，故原方程通解为 y=Cj(e*-x)+Cz(e2x-x)+x 代入初始条件y(0)=1,y'(0)=3,得C1=-1,C2=2, 故所求特解为y=2e2x-e
例1 已知微分方程 y + p(x) y + q(x) y = f (x) 个解 , , , 2 1 2 3 x x y = x y = e y = e 求此方程满足初始条件 y(0) =1, y (0) = 3 的特解 . 解: 2 1 3 1 y − y 与 y − y 是对应齐次方程的解, 且 − − = − − e x e x y y y y x x 2 3 1 2 1 常数 因而相互独立, 故原方程通解为 = ( − ) + ( − ) + 2 1 2 y C e x C e x x x 代入初始条件 y(0) =1, y (0) = 3, 1, 2, 得C1 = − C2 = 2 . 2x x 故所求特解为 y = e − e 有三
二阶常系数线性非齐次微分方程： y”+py'+qy=f(x)(p,q为常数) ① 根据解的结构定理，其通解为 y=Y+y* 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法一待定系数法 根据f(x)的特殊形式，给出特解y*的待定形式， 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数
y + py + qy = f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y = Y + y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法
一、f(x)=e2xPn（x)型为实数，Pm(x)为m次多项式. 设特解为y*=e2xQ(x),其中Q(x)为待定多项式， y*'=e2x[2Q(x)+Q'(x)] y*"=ex[2Q(x)+2元Q'(x)+Q"(x)] 代入原方程，得 Q"(x)+(2元+p)Q'(x)+(2+p元+q)Q()=Pm(x) (1)若入不是特征方程的根，即2+p九+q≠0，则取 Q(c)为m次待定系数多项式Qm(x),从而得到特解 形式为y*=e2xQm(x)
e [Q (x) x + (2 + p )Q(x) ( ) ( )] 2 + + p + q Q x e Pm(x) x = 一、 ( ) ( ) x m f x e P x = 型 为实数 , P (x) m 设特解为 y* e Q(x) , x = 其中 Q(x) 为待定多项式 , y* e [ Q(x) Q (x)] x = + * [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 y e Q x Q x Q x x = + + 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 y* e Q (x). m x = 为m次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式
Q"(x)∈(2+pQ'(x)2+p+q0(x)=Pm(x) (2)若入是特征方程的单根，即 22+p元+q=0,22+p≠0， 则Q'(x)为m次多项式，故特解形式为*=xQ,m(x)e2x (3)若入是特征方程的重根，即 22+p元+q=0,22+p=0, 则Q"(x)是m次多项式，故特解形式为y*=x2Qm(x)e2x 小结 对方程①，当入是特征方程的k重根时，可设 特解y*=xm(x)ex(化=0,1,2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程
(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 2 + p = 0 , 则Q(x) 是 m 次多项式,故特解形式为 x y x Qm x e * ( ) 2 = 小结 对方程①, y* = x Q (x)e (k = 0,1, 2) x m k 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . Q(x) P (x) ( ) ( ) = m 2 + + p + q Q x 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时,可设 特解
例2求微分方程y”-4y+4y=x2的通解. 例3求微分方程y”-6y+9y=(x+3)e3的通解。 小结： 对于方程y+py'+qy=Pn(x)e 设特解为y*=exQ(x), Q"(x)+(2元+p)Q'(x)+(2+p元+q)2(x)=Pm(x) 当入是特征方程的k重根时，可设特解 y*=xQnm(x)e2x(k=0,1,2)(m次完全多项式)
例2 求微分方程 的通解. 例3 求微分方程 的通解. 小结： 对于方程 ( ) x m y p y q y P x e + + = 设特解为 * ( ) , x y e Q x = * ( ) ( 0, 1, 2) （m次完全多项式） k x m y x Q x e k = = 当是特征方程的k重根时, 可设特解