上次课内容复习 1.一阶线性方程 dy+P(x)y=Q(x) d 方法1先解齐次方程，再用常数变易法. 方法2用通解公式 y=eJwt[∫ox)ea"dr+C] 2.伯努利方程 t+Pp=Qa0.,1) 令u=y-”,化为线性方程求解
上次课内容复习 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程, 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 ( ) d ( ) d ( ) d P x x P x x y e Q x e x C − = + , 1 n u y − 令 = 化为线性方程求解. 2. 伯努利方程
§10.4可降阶高阶微分方程 一、ym-f(x)型的微分方程 二、y”=f(x,y)型的微分方程 三、y”=f(y,y)型的微分方程
§10.4 可降阶高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程
一、ym)=f(x)型的微分方程 令z=yr-》,则正=y0=f9,因此 dx z=∫f(x)dx+C 即 ym-D=∫fx)dr+C 同理可得ym-2)=[f()dr+C]dx+C2 [[f(x)dx ]dx +Cjx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解
一、 ( ) ( ) n y f x = 令 , ( −1) = n z y 因此 d 1 z = f (x) x +C 即 同理可得 2 ( 2) y dx C n = + − dx = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 +C x + 型的微分方程
例1.求解y"=e2x -cosx. 解：y”=∫(e2x-cosx)dx+C 2sinx+C y'= e2x+cosx+Cix+C2 4 y= +C+C+C (此处G=9)
例1. 解: ( ) 1 2 y e cos x d x C x = − + 1 2 sin 21 e x C x = − + x y e 2 41 = x y e 2 81 = + sin x 2 1 + C x 2 C3 + C x + + cos x 1 C2 + Cx +
二、y”=f(x,y)型的微分方程 设y=p(x),则y”=p,原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为 p=p(x,C1) 则得 y'=p(x,C1) 再一次积分，得原方程的通解 y=∫p(x,C1)dx+C2
y = f (x, y ) 型的微分方程 设 y = p(x) , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y = (x,C ) x +C 二
例2求方程 (1+x2)y+2xy=1的通解。 例3求解 (1+x2y=2xy yx-0=1,y|x=0=3
例2 求方程 (1 2 1 + + = x y xy 2 ) 的通解。 例3 求解 (1+ x )y = 2xy 2 1, y x =0 = 3 y x =0 =
三、y”=f(y,y)型的微分方程 dp 令2则p-pNp了 dx dy dx 故方程化为 dp=f(y.p) p ay 设其通解为p=p(y,C1),即得 y'=p(y,C1) 分离变量后积分，得原方程的通解 人 dy =x+C2 (y,C)
三、 y = f (y, y ) 型的微分方程 令 y = p( y), x p y d d 则 = x y y p d d d d = 故方程化为 设其通解为 ( , ), C1 p= y 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解
例4求方程的特解 +0=0 x=0=1,K-0=1 例5求方程yy”-y2=0的通解
例4 求方程的特解 ( ) 3 0 0 0 1, 1 x x y y y y y = = + = = = 例5 求方程 的通解
内容小结 可降阶微分方程的解法一【 降阶法 1.y(n)f(x) 逐次积分 2.y”=f(x,y） 令y=p),则”= dx 3.y"=f(y,y) 令y=p以，则y=P dp
内容小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y = p(x) , 令 y = p( y)
习题课：一阶微分方程的解法 1.一阶标准类型方程求解 四个标准类型：可分离变量方程，齐次方程， 线性方程，伯努利方程。 关键：辨别方程类型，掌握求解步骤 2.一阶非标准类型方程求解 变量代换法 一代换自变量 代换因变量 代换某组合式
习题课：一阶微分方程的解法 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 伯努利方程