§10.5二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程的一般形式为 y”+py'+qy=f(x) (1) 这里卫、9是常数。 如果f(x)=≡0即y”+py'+9y=0(2) 称为二阶常系数齐次线性微分方程； 否则（1)称为二阶常系数非齐次线性微分方程
§10.5 二阶常系数线性微分方程 y + py + qy = f (x) p 、 q 是常数。 二阶常系数线性微分方程的一般形式为 这里 （1） 称为二阶常系数齐次线性微分方程； 否则（1）称为二阶常系数非齐次线性微分方程． 如果 f x( ) 0 即 y py qy + + = 0 （2）
一、二阶常系数齐次线性微分方程 y"+py'+q=0 (2) 定理1设y=y,(x)与y=y2(x)为二阶常系数齐次 线性微分方程(2)的相互独立的两个特解(yz(x)/y,(x) 不恒等于常数)，则y=Cy+C2y2为方程(2)的通解， C与C,为任意常数
一、二阶常系数齐次线性微分方程 y py qy + + = 0 (2) ( ) 1 y = y x ( ) 2 y = y x 1 1 2 2 y = C y +C y C1 C2 定理1 设 与 为二阶常系数齐次 不恒等于常数)，则 为方程(2)的通解， 与 为任意常数． 线性微分方程(2)的相互独立的两个特解( ( ) ( ) 2 1 y x y x
二阶常系数齐次线性微分方程： y"+py'+qy=0(p,9为常数) (2) 因为r为常数时，函数ex和它的导数只差常数因子， 所以令(2)的解为y=ex(r为待定常数)，代入(2)得 (r2+pr+g)e"x =0 →r2+pr+9=0 (3) 称(3)为微分方程(2)的特征方程，其根称为特征根
二阶常系数齐次线性微分方程: r x y = e 和它的导数只差常数因子, 代入(2)得 ( ) 0 2 + + = r x r pr q e 0 2 r + pr + q = 称(3)为微分方程(2)的特征方程, ( r 为待定常数 ), （2） 所以令(2)的解为 （3） 其根称为特征根
y"+py'+qy=0(p,9为常数) (2) (r2+pr+g)e"x =0 →r2+pr+q=0 (3) 1.当p2-4q>0时，(3)有两个相异实根1,2，则微分 方程有两个线性无关的特解：y=eix，y2=e2, 因此方程的通解为 y=Cex+Cex
( ) 0 2 + + = r x r pr q e 0 2 r + pr + q = （2） （3） 1. 当 4 0 2 p − q 时, (3)有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 1 2 1 2 r x r x y C e C e = + 则微分
2.当p2-4g=0时，特征方程有两个相等实根1=2 =?,则微分方程有一个特解h=e1x. 设另一特解y2=yu(x)=eh'u(x)(uc)待定) 代入方程得： e[(2"+2id+片2u)+pW'+rw)+9u]=0 u"+(2i+p)W+(2+pi+q)u=0 注意？是特征方程的重根 u"=0 取u=x,则得y2=xeix,因此原方程的通解为 y=(C+C2x)e"x
2. 当 4 0 2 p − q = 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: [ 1 r x e ( ) ( 2 ) + p u + r1u + qu = 0 2 u + r1u + r1 u 是特征方程的重根 u = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 (2 ) ( 1 ) 0 2 u + r1 + p u + r1 + p r + q u =
3.当p2-4g<0时，特征方程有一对共轭复根 r=a+iB,n=a-iB 这时原方程有两个复数解： y=e(i)=ex(Cos Bx+isin Bx) y2 =e(a-ip)x=ex(cos Bx-isinBx) 利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解： y1=7(y1+y2)=eax cos Bx y2=2(-y2)=exsin Bx 因此原方程的通解为 y=ex (C cos Bx+C2 sin Bx)
3. 当 4 0 2 p − q 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: i x y e ( ) 1 + = e (cos x i sin x ) x = + i x y e ( ) 2 − = e (cos x i sin x ) x = − 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: ( ) 2 1 2 1 1 y = y + y ( ) 2 1 2 1 2 y y y i = − e x x = cos e x x = sin 因此原方程的通解为 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = +
小结： y+py'+qy=0(p,q为常数) 特征方程：r2+pr+q=0,特征根：n,2 特征根 通 解 1≠乃实根 y=Cienx+Cex 片=2=-号 y=(C]+C2x)ex i,2=a±iB y=ex(C COsBx+C2 sin Bx) 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程
小结: y + p y + q y = 0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C e C e 1 2 实根 = 1 + 2 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程
例1求微分方程y”-4y-5y=0的通解。 例2求解微分方程： y"-4y'+4y=0 。 h-0=1-0=1 例3求微分方程y”-2y'+10y=0的通解。 例4设函数f(x)可导，且满足： f(x)=1+2x+f()dt-xSf()dr 试求函数f(x)
例1 求微分方程 y y y − − = 4 5 0 的通解。 例2 求解微分方程： 0 0 4 4 0 1, 1 x x y y y y y = = − + = = = 。 例3 求微分方程 y y y − + = 2 10 0 的通解。 f (x) = + + − x x f x x t f t t x f t t 0 0 ( ) 1 2 ( )d ( )d f (x) 例4 设函数 可导，且满足： 试求函数
例5求方程y4)-2y"+5y”=0的通解。 解：特征方程r4-2r3+5r2=0,特征根： 1=2=0,5,4=1±21 因此原方程通解为 y=CI+C2x+e*(C3 cos2x+C4sin 2x)
例5 解: 特征方程 2 5 0, 4 3 2 r − r + r = 特征根: r r 0, r 1 2 i 1 = 2 = 3 , 4 = 因此原方程通解为 y = C1 +C2 x + ( cos 2 sin 2 ) 3 4 e C x C x x + 的通解
本次课内容小结 EX10-51,2 y"+py'+9y=0(p,9为常数) 特征根：r1,r2 ()当1≠r2时，通解为y=C1e1+C2e? (2)当1=r2时，通解为y=(C1+C2x)e1x (③)当1,2=a±Bi时，通解为 y=ex(C COs Bx+C2 sin Bx) 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解
本次课内容小结： y + p y + q y = 0 ( p, q 为常数) 特征根: 1 2 r , r (1) 当 时, 通解为 r x r x y C e C e 1 2 1 2 = 1 + 2 r r (2) 当 时, 通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 1 2 r = r (3) 当 时, 通解为 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + r = i 1,2 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . EX 10-5 1,2