§10.5二阶常系数线性微分方程 上次课内容复习： y"+py'+qy=f(x) 定理2.设y*(x)是二阶非齐次方程 y"+py'+qy=f(x) ① 的一个特解，Y()是相应齐次方程的通解，则 y=Y(x)+y*(x) 是非齐次方程的通解
§10.5 二阶常系数线性微分方程 上次课内容复习： y py qy f x + + = ( ) 设 y *(x) 是二阶非齐次方程 的一个特解, y = Y(x) + y *(x) Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 2. 则 是非齐次方程的通解 . ② ①
对于方程 y"+py'+qy=P(x)e 设特解为y*=e2xQ(x), Q"(x)+(2+p)Q'(x)+(2+p2+g)Q(x)=Pm(x) 当入是特征方程的k重根时，可设特解 y*=xQn(x)ex(k=0,1,2)(m次完全多项式)
对于方程 ( ) x m y p y q y P x e + + = 设特解为 * ( ) , x y e Q x = * ( ) ( 0, 1, 2) （m次完全多项式） k x m y x Q x e k = = 当是特征方程的k重根时, 可设特解
二、f(x)=e2[P(x)cOS@x-+P.(x)sin0x]型 y"+py'+qy =e[P(x)cos@x+P(x)sin@x] (p,9为常数) 入+io为特征方程的k重根(k=0,1), 则可设特解： *=xe [e(x)cos ax+R(x)sin cx] 其中m=max{n,l} 上述结论也可推广到高阶方程的情形
二、 ( ) ( )cos ( )sin x l n f x e P x x P x x = + 型 ( )cos ( )sin x l n e P x x P x x y + py + qy = + ( p, q 为常数) * ( )cos ( )sin k x m m y x e Q x x R x x = + 则可设特解: 其中 + i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形
例5（填空）设y”+y=f(x) 1)当f(x)=xcosx时可设特解为 y*=x[(ax+b)cosx+(cx+d)sinx] 2)当f(x)=xcos2x+e2x时可设特解为 y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ke2x 提示：f(x)=ex[P(x)coS@x-+Pn(x)sin@x] 入+io为特征方程的k重根(k=0,1), y*=xke4x[e(x)cos@x+R(x)sin@x] m maxn,1
时可设特解为 y* = x(ax + b)cos x y* = (ax + b)cos 2x + (cx + d)sin 2x x k e 2 + 时可设特解为 提示: + (cx + d)sin x 例5 (填空) 设 [ ( )cos ( )sin ] Q x x R x x m m + + i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1)
例6求方程y"+y'-2y=e(cosx-7sinx) 的通解。 例7求微分方程y"-4y'+13y=4cos3x 的特解。 下讲习题课
例6 求方程 的通解。 2 (cos 7sin ) x y y y e x x + − = − 例7 求微分方程 的特解。 y y y x − + = 4 13 4cos 3 下讲习题课