上次课复习 一、函数项级数的概念 00 ∑4n(x)=41()+42(x)+.+4n(x)+. n=1 二、幂级数及其收敛区间 00 a=a,+ax+a,.r2++ar+.⑩ n=0
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛区间 上次课复习
§7.4幂级数 三、幂级数的运算 设有两个幂级数 2a,=4+ar+a,++ar+ n= ∑b,x”=6+bx+b,x2+.+b,x+. n=0 它们的和函数分别为S,(x),S,(x),收敛半径分别为 R和R,记R=min{R,R},则在(-R,R)内有 如下运算法则：
§7.4 幂级数 三、幂级数的运算 = + + + + + = + + + + + = = n n n n n n n n n n b x b b x b x b x a x a a x a x a x 2 0 1 2 0 2 0 1 2 0 设有两个幂级数 1 2 它们的和函数分别为 s x s x ( ), ( ) ，收敛半径分别为 R1 R2 R R R = min{ , } 1 2 和 ，记 ，则在 (−R, R) 内有 如下运算法则：
1、加法运算 a,±2r=a,±b,K=s0ts, n=0 n=0 n=0 两个收敛的幂级数，在区间(-R,)中可以求和（或 差)，它们的和（或差）也是幂级数，系数为原幂级数 的系数的和（或差），并且和函数为原来两幂级数的 和函数的和（或差）
( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 0 a x b x a b x s x s x n n n n n n n n n n = = = = = 两个收敛的幂级数，在区间 中可以求和(或 差)，它们的和(或差)也是幂级数，系数为原幂级数 的系数的和(或差)，并且和函数为原来两幂级数的 和函数的和(或差)． ( , ) −R R 1、加法运算
2.乘法运算 (∑ax)-(∑b,x) m=0 n=0 =(a+ax+.+anx”+.b。+bx+.+bnx”+.） aobo+(aob +abo)x+(aobz +ab +azbo)x ++∑abn+. i=0 在区间(-R,两个收敛的幂级数的乘积也是一 个幂级数，其x”的系数由n项形如 I ab (i+j=n) 之和构成
0 0 ( ) ( ) n n n n n n a x b x = = 0 1 0 1 ( )( ) n n n n = + + + + + + + + a a x a x b b x b x 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0 ( ) ( ) n n i n i i a b a b a b x a b a b a b x a b x − = + + + + + + + + ２．乘法运算 在区间 中，两个收敛的幂级数的乘积也是一 个幂级数，其 (−R, R) n x 的系数由n +1 a b (i j n) 项形如 i j + = 之和构成．
假设 ∑a,x=s()收敛半径为R,则在 (-R,R) n=0 内有幂级数有如下的运算法则： 3.微分运算 o-(oxY-) =0 收敛的幂级数可以逐项求导，逐项求导后得到 的仍然是幂级数，并且其收敛半径不变，求导后的 幂级数的和函数为原级数的和函数的导数
( ) 0 a x s x n n n = = ( , ) −R R ( ) ( ) 1 0 0 0 a x a x na x s x n n n n n n n n n = = = − = = = 假设 ，收敛半径为R，则在 内有幂级数有如下的运算法则： 收敛的幂级数可以逐项求导，逐项求导后得到 的仍然是幂级数，并且其收敛半径不变，求导后的 幂级数的和函数为原级数的和函数的导数 3．微分运算
4.积分运算 空o,r达-2rh-2是-=adws 收敛的幂级数可以逐项积分，逐项积分后得到 的仍然是幂级数，且其收敛半径不变，其和函数为 原级数的和函数在相应区间上的积分
4．积分运算 x s x dx n a a x dx a x dx x n n n n n n x x n n n ( ) 1 ( ) ( ) 0 1 0 0 0 0 0 = + = = + = = = 收敛的幂级数可以逐项积分，逐项积分后得到 的仍然是幂级数，且其收敛半径不变，其和函数为 原级数的和函数在相应区间上的积分．
例7求下列级数的和函数 00 (1) (2) ∑ n=0 n=0n+1 (3) -1) n=0 2n+1 例8求级数 ∑n(n+1)x”的和函数，并求数项 n=1 级数 an 的和。 2
例7 求下列级数的和函数 1 0 0 2 1 0 (1) ; (2) ; 1 (3) ( 1) . 2 1 n n n n n n n x x n x n + = = + = + − + 例8 求级数 的和函数，并求数项 级数 的和。 1 ( 1) n n n n x = + 1 ( 1) 2 n n n n = +
x" 例9求幂级数 的和函数： n=1 n(n+1) 解，原武日4) x≠0 Simu-ri n=1( j(ajdr ●● 0n=1 n= (0<x<1) xJ1-t
例9 求幂级数 的和函数： 解： n n x n n + − = = 1 1 1 1 原式 − = x n n t t x 1 0 d 1 t t t x x d 1 1 0 − − x 0 (0 x 1)
=-ln(1-)+1+ln(1-x)=1+(-1)ln(1-x) X 即得 台in(n+1) 显然x=0时，和为0；x=±1时，级数也收敛 根据和函数的连续性，有 1+(-1)m(1-x),0<x<1及x=-1 S(x)= 0 x=0 1, x=1
ln (1 ) 1 1 x x + + − 1)ln (1 ) 1 1 ( x x = + − − 显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有 x = 1 时, 级数也收敛 . 1)ln (1 ) , 1 1 ( x x 即得 = + − − 0 x 1
内容小结 作业：EX9-42 幂级数的性质 1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算 2)在收敛区间内幂级数的和函数连续； 3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分
内容小结 作业：EX9-4 2 幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算. 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续; 3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分