§7.7经济数学模型与案例分析 本节将应用多元函数微分学的有关知识分析经 济学中的相关问题。 设某企业生产甲、乙两种产品，这两种产品的数 量分别为x和y,这两种产品的价格分别定为p,和P2, 假设这两种产品在市场上供需平衡，即销售量等于产 量 (1)这两种产品的总成本为C=C(x,),偏导数 C-C,(x,)与C=C,(x,)分别表示这两种产品的边 O 际成本；
§7.7 经济数学模型与案例分析 设某企业生产甲、乙两种产品,这两种产品的数 量分别为 x 和 y ,这两种产品的价格分别定为 和 , 假设这两种产品在市场上供需平衡,即销售量等于产 量. 1 p 2 p （1）这两种产品的总成本为 ,偏导数 与 分别表示这两种产品的边 际成本; C C x y = ( , ) ( , ) x C C x y x = ( , ) y C C x y y = 本节将应用多元函数微分学的有关知识分析经 济学中的相关问题
(2)企业的总收益为R(x,y)=p,x+P2y,偏导数 整&刊与 R=R,(K,)分别表示这两种产品的 边际收益； (3)企业的总利润为L(x,y)=R(x,y)-C(x,y)， 偏号数必Lx与马，功分别表示这两 种产品的边际利润
（2）企业的总收益为 ,偏导数 与 分别表示这两种产品的 边际收益; R x y p x p y 1 2 ( , ) = + R (x, y) x R = x R (x, y) y R = y （3）企业的总利润为 , 偏导数 与 分别表示这两 种产品的边际利润. L(x, y) = R(x, y) −C(x, y) L (x, y) x L = x L (x, y) y L = y
例1某企业销售两种产品，两种产品的需求量 x与y是由产品的价格P与pP,所确定，需求函数为 x=40-2p1+P2,y=25+p1-P2,假设企业生产 两种产品x单位与y单位的成本为 C(x,y)=x2+xy+y2 求使企业获得最大利润的这两种产品的生产水平，企 业获得的最大利润是多少？
例1 某企业销售两种产品，两种产品的需求量 与 是由产品的价格 与 所确定,需求函数为 ， ， 假设企业生产 两种产品 单位与 单位的成本为 求使企业获得最大利润的这两种产品的生产水平,企 业获得的最大利润是多少? x y 1 p 2 p 40 2p1 p2 x = − + 25 p1 p2 y = + − x y 2 2 C(x, y) = x + x y + y
例2某单位计划用5000元购买甲、乙两种商品， 假设购买甲种商品的数量为x,乙种商品的数量为y 并且购买这两种商品的效用函数为 U(x,y)=3In x+2In y 已知甲种商品的单价为60元，乙种商品的单价为40元， 试问两种商品各购买多少时，才能使购买这两种商品 的效用最大？
例2 某单位计划用5000元购买甲、乙两种商品, 假设购买甲种商品的数量为x，乙种商品的数量为y, 并且购买这两种商品的效用函数为 已知甲种商品的单价为60元,乙种商品的单价为40元, 试问两种商品各购买多少时,才能使购买这两种商品 的效用最大? U(x, y) = 3ln x + 2ln y
例3假设某企业在两个相互分割的市场上出售 同一种产品，两个市场的需求函数分别是 p1=18-2Q p2=12-Q2 其中p和卫，分别表示该产品在两个市场的价格（单位： 万元/吨)，Q,和Q分别表示该产品在两个市场的销 售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品 的总成本函数是C=2Q+5,其中Q表示该产品 在在两个市场的销售总量，题=Q+Q
例3 假设某企业在两个相互分割的市场上出售 同一种产品，两个市场的需求函数分别是 其中 和 分别表示该产品在两个市场的价格(单位: 万元/吨), 和 分别表示该产品在两个市场的销 售量(即需求量,单位:吨),并且该企业生产这种产品 的总成本函数是 , 其中 表示该产品 在在两个市场的销售总量,即 . p1 =18− 2Q1 p2 =12 −Q2 p1 2 p Q1 Q1 C = 2Q + 5 Q Q = Q1 +Q2
(1)如果该企业实行价格差别政策，试确定两个 市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利 润； (2)如果该企业实行价格无差别政策，试确定两 个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业 的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润的 大小 (2000年考研数四题目，6分)
（1）如果该企业实行价格差别政策,试确定两个 市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利 润; （2）如果该企业实行价格无差别政策,试确定两 个市场上该产品的销售量及其统一的价格,使该企业 的总利润最大化;并比较两种价格策略下的总利润的 大小. （2000年考研数四题目，6分）
例4某公司可通过电台及报纸两种方式做销售 某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与 电台广告费用x,(万元)及报纸广告费用x,万元)之间 的关系有如下经验公式： R=15+14x1+32x2-8xx2-2x2-10x3 ()在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为1.5万元，求相应地最优 广告策略
例4 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售 某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与 电台广告费用 (万元)及报纸广告费用 (万元)之间 的关系有如下经验公式: (1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略; (2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应地最优 广告策略. 1 x 2 x 2 2 2 R =15 +14x1 + 32x2 −8x1 x2 − 2x1 −10x
例5设生产某种产品必须投入两种要素，x和 x分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数 为Q=2xx，其中a,B为正常数，且aw+B=1· 假设两种要素的价格分别为P1和P2,试问：当产出 量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最 小？ (1999年考研数四题目，6分) 本次课作业：Ex7-7
例5 设生产某种产品必须投入两种要素, 和 分别为两要素的投入量, 为产出量;若生产函数 为 ，其中 为正常数，且 . 假设两种要素的价格分别为 和 ，试问:当产出 量为12时,两要素各投入多少可以使得投入总费用最 小? 1 x 1 x Q 2 1 2 Q = x x , + = 1 1 p 2 p （1999年考研数四题目，6分） 本次课作业：EX 7-7
例6某企业家经营两个工厂，这两个工厂生产同一种产 品。两个工厂的成本函数分别为： C1=3Q+2Q+6,C2=2Q+292+4 其中Q和Q2分别是两个厂的产量（单位：吨），而该产品的需 求函数为 0 37_1P 3 6 其中Q=Q+Q2是产品的总销售量，P为产品的价格（单位： 万元/吨)。 (1)若政府对每销售一吨产品征税t(万元)，应如何确定 两个厂的产量Q和Q,才能获得最大利润？ (2)当t为何值时，政府征收到的税收总额最大？
例6 某企业家经营两个工厂,这两个工厂生产同一种产 品。两个工厂的成本函数分别为： 其中 和 分别是两个厂的产量(单位:吨)，而该产品的需 求函数为 其中 是产品的总销售量, 为产品的价格(单位: 万元/吨)。 (1) 若政府对每销售一吨产品征税t (万元)，应如何确定 两个厂的产量 和 ,才能获得最大利润? (2) 当 t 为何值时，政府征收到的税收总额最大? 3 2 1 6 2 C1 = Q1 + Q + 2 2 2 4 2 ， C2 = Q2 + Q + Q1 Q2 Q P 6 1 3 37 = − Q = Q1 +Q2 P Q1 Q1