上次课内容复习： 1、函数极限的E-δ定义 limf(x)=A=/e>0,3δ>0， x→X0 当0<x-x<6时，有f(x)-A<8 2、左极限与右极限 lim f(x)=Alim f(x)=lim f(x)=A X→X0 X→X0 x→X0 3、若数列{xn}收敛，则其极限是唯一的
上次课内容复习： 当 时, 有 1、函数极限的 − 定义 0 0 − x x 2、左极限与右极限 f x A x x = → lim ( ) 0 f x f x A x x x x = = → + → − lim ( ) lim ( ) 0 0 3、若数列 xn 收敛，则其极限是唯一的．
4、若数列{xn}收敛，则数列xn}有界。 5、如果limx=a且a>0(或aN时，都有xn>0(或xna (1)lim(xn±yn)=limx±limy=a±b. K- X→00 X>00 (2)lim(xn'yn)=limxlimy=ab,特别地， 0 X>00 X>0 lim(C.x)=C.limx =Ca (为常数)； lim(xn)=(imxn)次=a
4、若数列 xn 收敛，则数列 xn 有界。 5、如果 且 （或 ），则存 在正整数 N ，当 时，都有 （或 ）. lim n n x a → = a 0 a 0 n N 0 n x 0 n x 6、若数列 都收敛，设 则 （1） ． （2） ，特别地， （为常数）； x y n n , xn a n = → lim yn b n = → lim lim( ) lim lim n n n n x x x x y x y a b → → → = = lim( ) lim lim n n n n x x x x y x y ab → → → = = lim( ) lim n n x x C x C x Ca → → = = lim( ) (lim ) k k k n n x x x x a → → = =
limx (3) 1im=四=2(m,≠0) yn limy,b X-→00 (4)m,=mx=a,k为偶数时，要 求lim=a≥0
lim lim (lim 0) lim n n x n x x n n x x x a y y y b → → → → = = lim lim k k k n n x x x x a → → = = k lim 0 n x x a → = （ 3 ） ． （ 4 ） ， 为偶数时，要 求 ．
三、函数极限的性质 定理6（唯一性）如果limf(x)存在，那么这 X→x 极限是唯一的. 定理7（局部有界性) 若limf(x)=a，则存 在一个去心邻域U(x,),6>0,使得函数f(x)在 U(x,δ)内有界. 定理8（局部保号性) 如果limf(x)=a,而且 a>0(或a0(或f(x)<0)
三、函数极限的性质 定理7（局部有界性） 若 ，则存 在一个去心邻域 ， ，使得函数 在 内有界. 0 lim ( ) x x f x a → = o 0 U x( , ) 0 f (x) o 0 U x( , ) 0 lim ( ) x x f x → 定理6（唯一性） 如果 存在，那么这 极限是唯一的. 定理8（局部保号性） 如果 ，而且 （或 ），则存在一个 ，当 在内 时，就有 （或 ）. 0 lim ( ) x x f x a → = a 0 a 0 o 0 U x( , ) x o 0 U x( , ) f (x) 0 f (x) 0
四、函数极限的四则运算法则 定理5若1imf(x)=a,limg(x)=b,则有 (1)1im[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=a±b (2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=ab lim[Cf(x)]=Clim f(x) (C为常数) lim[f(x)]"=[lim f(x)]" (n为正整数) (3)若b≠0，则有 lim f(x) lim f(x)a 8(x) limg(x)b
定理5 若 lim ( ) , lim ( ) , f x a g x b = = 则有 四、 函数极限的四则运算法则 lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 若 b 0 , 则有 （1） （2） （3）
例3求l1im(x3-3x+5) x2+1 )2 例4求四x-3x+5x 例5求1im+3- 例6求(x x→0 X 3x3+5x2-7 例7求lim x06x3+4x2+2x 例8 求lim 2x2-5x+3 x∞5x3+4x2-8 5x3+4x2-8 例9 求lim x→0 2x2-5x+3
例3 求 3 2 lim( 3 5) x x x → − + 例4 求 2 6 3 1 1 lim x 3 5 x → x x x + − + 例5 求 0 3 3 lim x x → x + − 例6 求 3 1 1 3 lim x→ 1 1 x x − − − 例7 求 3 2 3 2 3 5 7 lim x 6 4 2 x x → x x x + − + + 例8 求 2 3 2 2 5 3 lim x 5 4 8 x x → x x − + + − 例9 求 3 2 2 5 4 8 lim x 2 5 3 x x → x x + − − +
一般有如下结果： lim dom x0bx”+bx”-1+.+bn (aobo≠0，m,n为非负整数) do bo 当n=m 0 当n>m 当n<m
一般有如下结果： 为非负整数 ) = m m m x a x + a x + + a − → 0 1 1 lim n n n b x + b x + + b 0 1 −1
五、复合函数的极限运算法则 定理9设函数y=f[8(x是由函数 y=f(w)与函 数 u=g(复合而成，y=f[g(x在点x,的某去心邻 域内有定义，若1mg(x)=lmf四=g且存在 6,>0当x∈0(x,δ时，有g(x)≠4则 limf[g(x】=limf(w=a。 EX:1-3 本次课(1)函数极限的性质。 小结：（2)函数极限的四则运算法则。 (3)复合函数的极限运算法则
五、复合函数的极限运算法则 y f g x = [ ( )] y f u = ( ) u g x = ( ) y f g x = [ ( )] 0 x 0 0 lim ( ) x x g x u → = 0 lim ( ) u u f u a → = 0 0 o 0 0 x U x ( , ) 0 g x u ( ) 0 lim [ ( )] x x f g x → = 0 lim ( ) u u f u a → = 是由函数 数 复合而成， 在点 域内有定义，若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则 定理９ 设函数 与函 的某去心邻 。 本次课 小结： （1）函数极限的性质。 （2）函数极限的四则运算法则。 （3）复合函数的极限运算法则。 EX: 1-3
思考及练习 1.若1imf(x)存在，limg(x)不存在，问 1im[f(x)+g(x)]是否存在？为什么？ 答：不存在.否则由g(x)=[f(x)+g(x)]-f(x) 利用极限四则运算法则可知1img(x)存在，与已知条件 矛盾. 2.lim 1>00 解： 原式=limn+D=1im 2n2 n→o0∠
思考及练习 1. 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 , 与已知条件 矛盾. 解: 原式 2 2 ( 1) lim n n n n + = → ) 1 (1 2 1 lim n n = + → 2 1 = 2. 问
3.求1imx(Wx2+1-x). x→+00 解法1 原式=m+1+x X lim 1 →+0 1 -1 2 解法2令t=1,则1→0 原赋-m1-力=m1 t→0 2 lim- 10+V1+12+12
3. 求 解法 1 原式 = x x x x→+ +1+ lim 2 1 1 1 1 lim 2 + + = →+ x x 2 1 = 解法 2 令 , 1 x t = t t t t 1 1 1 1 lim 2 0 + − → + 2 1 = 则 原式 = 2 2 0 1 1 lim t t t + − = → + 1 1 1 lim 2 0 + + = → + t t → + t 0