上次课内容复习： 1、函数的单调性及其判定法； 2、曲线的凹凸性及其判定法； 3、函数图形的描绘。 本次课内容： 1、函数的极值及其求法 2、最大值与最小值问题
上次课内容复习： 1、函数的单调性及其判定法； 2、曲线的凹凸性及其判定法； 3、函数图形的描绘。 本次课内容： 2、最大值与最小值问题 1、函数的极值及其求法
§3.4函数的极值与最大值、最小值 一、函数的极值 定义：设函数f()在x,的某领域内有定义，若对 该邻域内异于的任意一点x都有 (1)f(x)f(xo),则称xo为f(x)的极小值点， 称f(xo)为函数的极小值. 极大值点与极小值点统称为极值点
§3.4 函数的极值与最大值、最小值 (1) 则称 为 的极大值点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小值点 , 称 为函数的极小值 . 极大值点与极小值点统称为极值点 . 一、函数的极值 定义: 设函数 f (x)在 的某领域内有定义，若对 该邻域内异于 的任意一点 ，都有
例如 函数f(x)=2x3-9x2+12x-3 x=1为极大值点，f1)=2是极大值 2 x=2为极小值点，f(2)=1是极小值 2 注意：1)函数的极值是函数的局部性质， 2)对常见函数，极值可能出现在导数为0或 不存在的点 x1,x4为极大值点 x2,x5为极小值点 x3不是极值点 a xt x2 x3 x4 xs b x
注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 O a x b x y 1 4 x , x 为极大值点 2 5 x , x 为极小值点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 12 3 3 2 例如 f x = x − x + x − 为极大值点, 是极大值 为极小值点, 是极小值 函数 1 2 O x y 1 2
定理1（必要条件) 设函数y=f(在点x 可导，且在处取得极值，则函数在点 x,处的导数 必为零，即 f'(x)=0 例讨论函数的极值点和极值 (1)f(x)=(x-1)2+2,(2)f(x)=x3 可导函数的极值点必为驻点，但是函数的驻点 不一定为极值点
y = f (x) 0 x 0 x 0 x f (x0 ) = 0 定理1 （必要条件） 设函数 在点 可导，且在 处取得极值，则函数在点 处的导数 必为零，即 。 可导函数的极值点必为驻点，但是函数的驻点 不一定为极值点. 例 讨论函数的极值点和极值 2 （1） f x x ( ) ( 1) 2 = − + （2） 3 ， f x x ( ) =
定理2（第一充分条件)设函数f(x)在点x的 某邻域内连续，在点的去心邻域内可导，x为该去 心邻域内的任意一点，则 (I)若当x0,当x>时，有f'(x)x时，有f'(x)>0 则y=f(x)在点x,取得极小值； (③)若f'(x)在x的去心邻域内不变号，则f(x,)不是 极值
定理2 （第一充分条件） 设函数 在点 的 某邻域内连续，在点 的去心邻域内可导， 为该去 心邻域内的任意一点，则 (1) 若当 时，有 ，当 时，有 则 在点 取得极大值； (2) 若当 时，有 ，当 时，有 则 在点 取得极小值； (3) 若 在 的去心邻域内不变号，则 不是 极值. f x( ) 0 x 0 x x 0 x x f x ( ) 0 0 x x f x ( ) 0 y f x = ( ) 0 x 0 x x f x ( ) 0 0 x x f x ( ) 0 y f x = ( ) 0 x f x ( ) 0 x 0 f x( )
y=f(x) y=f(x) f'(x)0f'(x)0 0 Xo 0 Xo y=f(x) y=f(x) f'(x)>0 f'(x)0 f'(x)<0 0 Xo Xo
o x x 0 y f x = ( ) f x ( ) 0 f x ( ) 0 y o x x 0 y f x = ( ) f x ( ) 0 f x ( ) 0 y o x x 0 y f x = ( ) f x ( ) 0 y f x ( ) 0 f x ( ) 0 o x x 0 y f x = ( ) y f x ( ) 0
根据定理2，可得到求函数极值的步骤： ()计算函数的导数： (2)求出函数的所有驻点与使得函数不可导的 点； (3)判断函数的导数在驻点或不可导的点左右两 边的符号，由定理2可判断该点是否为极值点，并 求出其极值. 例1.求函数f(x)=(x-1)x3的极值
根据定理2，可得到求函数极值的步骤： (1) 计算函数的导数； (2) 求出函数的所有驻点与使得函数不可导的 点； (3) 判断函数的导数在驻点或不可导的点左右两 边的符号，由定理2可判断该点是否为极值点，并 求出其极值. 例1. 求函数 的极值
定理2（极值充分条件） 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且 f'(xo)=0,f"(xo)≠0 (1)若f"(xo)0,则f(x)在点xo取极小值. 例2求函数y=x2的极值. 例3求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值
定理2 (极值充分条件) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 例2 求函数 2 x y x = 的极值. 例3 求函数 的极值
二、函数的最大值最小值 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则其最值只能 在极值点或端点处达到. 求函数最值的方法： (1)求f(在（内的极值可疑点 1,X2,.,Xm (2)最大值 M=max{f(x),f(x2),f(xm),f(a),f(b)} 最小值 m=minif(x),f(x2),.,f(xm),f(a),f(b)
二、函数的最大值最小值 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 M = max f (a), f (b ) 最小值
特别： ·当f(x)在[a,b]内只有一个极值可疑点时， 若在此点取极大（小）值，则也是最大（小值 ·当f(x)在[a,b]上单调时，最值必在端点处达到 对应用问题，有时可根据实际意义判别求出的可 疑点是否为最大值点或最小值点. 例4求函数y=x-3-6x-2在闭区间[-2，】 2 上的最大值与最小值
特别: • 当 在 内只有一个极值可疑点时, • 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 值 . • 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可 疑点是否为最大值点或最小值点 . (小) 3 2 3 6 2 2 例4 求函数 y x x x = − − − 在闭区间 [ 2, 1] − 上的最大值与最小值