有关内容复习： 拉格朗日（Lagrange)中值定理。 如果函数f(x)满足如下条件： (I)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； 则在(a,b)内至少有一点5，使得 )-I(b)-f(a) b-a
有关内容复习： 拉格朗日（Lagrange）中值定理。 如果函数 f x( ) 满足如下条件: (1) 在闭区间 上连续; (2) 在开区间 内可导; 则在 内至少有一点 ，使得 [ , ] a b ( , ) a b ( , ) a b ( ) ( ) ( ) f b f a f b a − = −
§3.3函数的单调性及其判定法 y=f(x) y0 定理设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在 开区间(a,b)内可导，若f'(x)>0（f'(x)<0),则 函数f(x)在[a,b]上是单调递增的（单调递减的）·
§3.3 函数的单调性及其判定法 y f x = ( ) [a,b] (a,b) f x ( ) 0 f x ( ) 0 f x( ) [a,b] 定理 设函数 在闭区间 在 上是单调递增的（单调递减的）. 上连续，在 开区间 内可导，若 ( ）, 则 函数 o x y y f x = ( )y 0 o x y y f x = ( ) y 0
注在定理中，若存在有限个点使得∫'(x)=0, 则函数f(x)在[a,b]上仍然是单调递增的（或单调 递减的)；把定理中的闭区间换成其它任何区间， 定理的结论同样成立. 一般地，使得函数f(x)的导数f'(x)=0的点， 称为该函数的驻点。 例1判定函数y=x+cosx在[0,2π]上的单调性
注 在定理中，若存在有限个点使得 则函数 在 上仍然是单调递增的(或单调 递减的)；把定理中的闭区间换成其它任何区间， 定理的结论同样成立. f x ( ) 0, = f x( ) [a,b] 一般地，使得函数 f x( ) 的导数 f x ( ) 0 = 称为该函数的驻点。 的点， 例1 判定函数 y x x = +cos 在 [0, 2 ] 上的单调性
例2确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调性. 解：f"(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 (-0,1)11,2)21(2,+) f(x (x) 故f(x)的单调增区间为(-o0,1),(2,+o): f(x)的单调减区间为(1,2)
例2 确定函数 的单调性. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 O x y 1 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1
说明： 1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点 例如，y=Vx2,xE(-0,+0) 2 y=Vx2 33 yx=0=0 2)如果函数在某驻点两边导数同号， 则不改变函数的单调性 例如，y=x3,xe(-0,+0) y'=3x2 y1k0=0
y O x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y O x 3 y = x
下面举例说明函数的单调性在证明不等式中的 重要应用. 例3证明：当x>0时，有 1++
下面举例说明函数的单调性在证明不等式中的 重要应用. x 0 1 1 1 2 + + x x 例3 证明：当 时，有
刚4.证明0<x≤时，成立不等式n 兀 元 证：令f(x)= sinx 2 X 则f)在0,1上连续，在(0,2上可导，且 (x)=xcosx-sinxcosx x2 x2(x-tanx)<0 因此f(x)在(0，)内单调递减， tan x 又fw)在处左连续，因此f)≥f(分=0 从而
例4. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , π sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且
§3.5曲线的凹凸性、拐点、 渐近线 及其函数图形的描绘 f古+) )+/》 B f(x) +f》y) f(古+) f(x2) f(x)1 x,x 26+) 0 2+) 图形是凹弧 图形是凸弧
§3.5 曲线的凹凸性、拐点、 渐近线 及其函数图形的描绘 y x 1 f x( ) 1 x 2 x 1 2 1 ( ) 2 x x + 1 2 1 ( ) ( )) 2 （f x f x + A C B 2 f x( ) 1 2 ( ) 2 x x f + o 图形是凹弧 y 1 f x( )1 x 2 x 1 2 1 ( ) 2 x x + A B 1 2 ( ) 2 x x f + 1 2 1 ( ) ( )) 2 （f x f x + 2 f x( ) o 图形是凸弧
定义1设函数f(x)在区间I上连续，如对I上的 任意两点x,x(x≠2)，都有下式成立 f)sf) 2 则称函数f(x)在区间I的图形是凹（凸)的，此时 称f(x)在区间I上为凹（凸)函数，区间I称为凹 (凸)区间. 如果函数f(x)在点x,(∈I)左右两边的凹凸性 各不相同，称点(x,f(x》为曲线的一个的一个拐点
f x( ) I I 1 2 1 2 x x x x , ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x f x f x x x f x f x f f + + + + f x( ) I f x( ) I I 定义1 设函数 在区间 的图形是凹（凸）的，此时 在区间 上为凹（凸）函数，区间 在区间 上连续，如对 上的 任意两点 ，都有下式成立 则称函数 称 称为凹 （凸）区间. f x( ) 0 x I ( ) 0 0 ( , ( )) x f x 如果函数 在点 左右两边 各不相同，称点 为曲线的一个的一个拐点. 的凹凸性
定理1若函数 f(x)在(a,b)内有∫"(x)>0,则曲 线在(a,b)内是凹的，若函数f(x)在(a,内有f"(x)<0 则曲线在(a,b)内是凸的. 定理2设函数f(x)在点x的某邻域内连续，在点 x的某去心邻域内二阶导数存在，若在x,的左右两侧 邻近的二阶导数f"(x)异号，则点M(,f(x)是曲线 y=f(x)的拐点. 例1讨论函数y=ln(1+x的凸凹性及拐点
f x( ) ( , ) a b f x ( ) 0 ( , ) a b f x( ) ( , ) a b f x ( ) 0 ( , ) a b 定理1 若函数 内有 在 内有 ，则曲 线在 内是凹的，若函数 在 则曲线在 内是凸的. 定理2 设函数 在点 的某邻域内连续，在点 的某去心邻域内二阶导数存在，若在 的左右两侧 邻近的二阶导数 异号，则点 是曲线 的拐点. f x( ) 0 x 0 x 0 x f (x) ( , ( )) 0 0 M x f x y = f (x) 例1 讨论函数 2 y x = + ln(1 ) 的凸凹性及拐点