第一章 函数与极限 §1.2函数的极限 一、数列的极限 二、函数的极限 极限是微积分学的灵魂，极限思想贯穿 于微积分学的始终
§1.2 函数的极限 一、数列的极限 第一章 函数与极限 二、函数的极限 极限是微积分学的灵魂，极限思想贯穿 于微积分学的始终
一、数列的极限 数列的概念： 一列（无穷多个)有序的数x,x2,.,m,.称为 数列。x称为通项（一般项） 定义：自变量取正整数的函数称为数列，记作 xn=f(n)或{xn}.xn称为通项（一般项）. 1 例1设数列xn=二， n=1,2,. 考察：当n→o,xn→？即求limx
一、数列的极限 定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作 或 称为通项(一般项) . 数列的概念： 一列（无穷多个）有序的数 1 2 , , , , n x x x 称为 数列。 称为通项(一般项) 。 例1 设数列 1 , 1,2, n x n n = = 考察：当 , ? n n x → → 即求 lim n n x →
例2设数列 x=(-10” n=1,2,. 之 考察：当noo,x,→？即求limx。 n00 例3 设数列x,=1-() n=1,2,. 2n 考察：当n→o,xn→？即求lim x。 通过以上三例的讨论，你能够得到 什么启示？
例2 设数列 ( ) 1 1 , 1, 2, n n x n n = − = 考察：当 , ? n n x → → 即求 lim n n x → 。 例3 设数列 1 ( 1) , 1,2, 2 n n x n n − − = = 考察：当 , ? n n x → → 即求 lim n n x → 。 通过以上三例的讨论，你能够得到 什么启示？
定义1设有数列{xn},如果存在常数a，对 于任意给定的正数￡（无论它多小），总存在正整 数N,使得对于n>N的一切xn,不等式xn-aoo xn→an→o). 如果不存在这样的常数a，则称数列{xn}没有 极限，或称数列{xn}发散，习惯上也称limx不 n-co 存在
定义１ 设有数列 ，如果存在常数 ，对 于任意给定的正数 （无论它多小），总存在正整 数 ，使得对于 的一切 ，不等式 都成立，则称常数 为数列 的极限，或者称数 列 收敛 ，且收敛于 ，记作 ，或 ． xn a N n N n x x − a n xn a xn a xn a n = → lim x → a(n → ) n 如果不存在这样的常数 ，则称数列 没有 极限，或称数列 发散，习惯上也称 不 存在. xn xn lim n n x → a
数列极限的E-N定义 s>0,正数N,当n>N时，总有xn-aoo a-￡N) 几何解释： 即xn∈U(a,e) (n>N) 0● a-ExN+a xN+2 atE
当 n > N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : a − a + ( ) a − x a + n (n N ) 即 x U (a, ) n (n N ) xn a n = → lim 或 x → a (n → ) n N+1 x N+2 x 则称该数列 的极限为 a , 数列极限的 −N 定义
123 n 例如 234 n+1 →1(n→o) n+1 143 n+(-1)n-l 收 2 23’4 n 敛 n+(-011(n→m)J n 2,4,8,.,2”,. xn=2”→0(n→0) 发 1,-1,1,.,(-10m1,. 散 x=(-1)+1f 趋势不定
例如 ,1 , , 43, 32, 21 n +n +1 = nn xn →1 (n →) n n x n n 1 ( 1) − + − = →1 (n →) 2 , 4 , 8 , , 2n , n nx = 2 → (n →) 1 ( 1) + = − n nx 趋势不定 收敛发散
例4设数列xn=C(常数)，证明limx=C. n->oo 例5证明 lim n+(-1)-_1 n-→0 2n 2. 例6已知xn= +疗，证明m,=0. (-1)” n->00 例7 证明1imq”=0,其中goo
n x C= lim n n x C → 例4 设数列 （常数），证明 = ． 例5 证明 1 ( 1) 1 lim 2 2 n n n n − → + − = ． 例6 已知 证明 lim 0 n n q → 例7 证明 = ，其中 q 1
二、函数的极限 (1)自变量趋于无穷大时函数的极限 (2)自变量趋于有限值时函数的极限 1、自变量趋于无穷大时函数的极限 观察函数 sinx y= sinx 当X>00 时的变化趋势
二、函数的极限 （1）自变量趋于无穷大时函数的极限 （2）自变量趋于有限值时函数的极限 1、自变量趋于无穷大时函数的极限 sin x y x = x y o sin x y x = x → 观察函数 当 时的变化趋势
定义2设函数f(x)当x大于某一正数时有定 义，如果存在常数A，对于任意给定的正数E（无 论它有多么的小)，总存在正数X,使得适合不等 式x>X的一切x，所对应的函数值f(x)都满足 不等式f(x)-0，彐X>0,使当x>X时，恒有f(x)-A<
定义2 设函数 当 大于某一正数时有定 义，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （无 论它有多么的小），总存在正数 ，使得适合不等 式 的一切 ，所对应的函数值 都满足 不等式 ，那么常数 就叫做函数 当 趋于无穷大时的极限，记做 或 f x( ) x A X x X x f x( ) f x A ( ) − A f x( ) x lim ( ) x f x A → = f (x) → A （ x → ）。 = → f x A x lim ( ) − 0, 0, , ( ) X x X f x A 使当 时 恒有 函数的 − X 定义
lim f(x)=4 X→00 当x>X时，有f(x)-AX A-8<f(x)<A+8 几何解释： 4-al 三y=f(x) 直线y=A为曲线y=∫(x)的水平渐近线
lim ( ) x f x A → = x −X 或x X A− f (x) A+ − X X A+ A− O x y y f x = ( ) A 几何解释: 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线