第九章无穷级数 §9.1常数项级数的概念与性质 已知：一列有序的数（有限或无限)41,42，.，an,. 称为一个数列，记作{a}。 有限个数的和a,+a,++a,=S,结果是一个数。 例如 S.=d+og+.d=tam+ (n-D)d 2 2 等差数列 a,a +(n-1)d 等比数列 S,=a+a++a,=a0-9g 1-q (q≠1) a,ag"-I g=1,S,=na
第九章 无穷级数 §9.1 常数项级数的概念与性质 已知：一列有序的数（有限或无限） 称为一个数列，记作 。 1 2 , , , , n a a a an 有限个数的和 a a a S 1 2 + + + = n ，结果是一个数 。 例如： 等差数列 1 1 2 1 1 ( ) ( 1) 2 2 ( 1) n n n n a a n n S a a a n na d a a n d + − = + + + = = + = + − 等比数列 1 2 1 1 (1 ) ( 1) 1 1, n n n n n n a q S a a a q q a a q q S na − − = + + + = − = = =
从本章开始，将研究无穷多个数或函数相加的问题，即 4+山2+.+4n+. 其和（或和函数）为何？ 例：1、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。《庄子·天下 篇》 111 2、数列：1，-1，.(-1)”- 其和1+(-1)+.+(-1)”+. 如果(1-1)+(1-1)+(1-1)+.=0 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+.=1和不存在。 3、1+2+3+.n+.=+o0
从本章开始，将研究无穷多个数或函数相加的问题，即 1 2 n u u u + + + + 其和（或和函数）为何？ 例：1、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。《庄子·天下 篇》 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2n + + + + + = 1 2、数列： 1 1, 1, ( 1)n− − − 其和 1 1 ( 1) ( 1)n− + − + + − + 如果 (1 1) (1 1) (1 1) 0 − + − + − + = 1 [( 1) 1] [( 1) 1] 1 + − + + − + + = 和不存在。 3、 1 2 3 + + + + = + n
问题：(1)无限多个数相加，是否存在和？ (2)和是如何定义的？ (3)如果存在，如何求得和？ 设给定级数 ∑4。=4+4++，+ () n= 其前n项和记作 S。=∑4=4+4+.+4， (2) i=l 称作级数（1)的部分和，当n依次取1,2,3，·时
问题：（1）无限多个数相加，是否存在和？ （2）和是如何定义的？ （3）如果存在，如何求得和？ 设给定级数 1 1 ( ) 1 1 n n n u u u u = = + + + + 其前n项和记作 1 1 ( ) 1 2 n n i n i S u u u u = = = + + + 称作级数（1）的部分和，当n依次取 1, 2,3, 时
(2)成为一个数列： S1=41 S2=41+u2 Sn=4+42++4m 数列{Sn}称为级数(1)的部分和数列
（2）成为一个数列： 1 1 2 1 2 n n 1 2 S u S u u S u u u = = + = + + + 数列 Sn 称为级数（1）的部分和数列
定义如果级数 ∑4，的部分和数列{sn有极限S, 即 lim s常数)，则称级数 ∑收敛，这时极 n-1 限S叫做这个级数的和，并写成 S=4+42+.+un+.。 如果数列{sn}没有极限，则称级数∑4.发散. 当级数收敛时， rn=S-Sn=un+1+n+2+. 叫做级数的余项
1 2 . n S u u u = + + + + 定义 如果级数 的部分和数列 有极限 S， 即 （常数）,则称级数 收敛，这时极 限 S 叫做这个级数的和，并写成 n=1 n u sn s s n n = → lim n=1 un n=1 n u n 如果数列 s 没有极限，则称级数 发散． 当级数收敛时， rn = s − sn = un+1 + un+2 + 叫做级数的余项．
1 例1判别无穷级数 秀 的收敛性。 例2证明级数∑n是发散的. n= 例3 讨论几何级数∑ag”1的收敛性，其中 n=1 a≠0，g是公比
例1 判别无穷级数 =1 ( +1) 1 n n n 的收敛性． 例2 证明级数 n=1 n 是发散的． = − 1 1 n n 例3 讨论几何级数 aq 的收敛性，其中 a 0, q 是公比．
二、无穷级数的性质 性质1如果级数∑4，收敛于和S，则级数∑k, (k≠0)（常数）也收敛，且其和为k5. 性质2如果级数∑每∑分别收敛于和S与 O,则级数∑(u,±y)也收敛，且其和为s±o 性质3在级数 ∑的前面部分去掉或加上 有限项，不会改变级数的收敛性或发散性
二、无穷级数的性质 n=1 n u s n=1 n ku ( 0) k ks 性质1 如果级数 收敛于和 ，则级数 （常数）也收敛，且其和为 ． n=1 n u n=1 n v s = 1 ( ) n n n u v s 性质2 如果级数 与 分别收敛于和 ． 与 ，则级数 也收敛，且其和为 性质3 在级数 n=1 u 的前面部分去掉或加上 n 有限项，不会改变级数的收敛性或发散性．
性质4如果级数 ∑“，收敛，则对这级数的项任意 n= 加括号后所成的级数 (4++)+(n+1+.+4n)+.+(un-1+1十.+n)+. 仍然收敛，且其和不变. 性质5（级数收敛的必要条件）如果级数 n= 收敛，则 lim u,=0 n→0
n=1 n u (u1 ++ un1 ) + (un1 +1 ++ un2 ) ++ (unk −1 +1 ++ unk ) + 性质4 如果级数 收敛，则对这级数的项任意 加括号后所成的级数 仍然收敛，且其和不变． n=1 n u lim = 0 → n n u 性质5（级数收敛的必要条件）如果级数 收敛，则
例4讨论级数三 的收敛性。 例5讨论调和级数 111 1+ 2+.++ 23n 的敛散性。 本次课小结 作业：EX9-11-4
例4 讨论级数 的收敛性。 n 1 1 n n = + 例5 讨论调和级数 1 1 1 1 2 3 n + + + + + 的敛散性。 本次课小结 作业：EX 9-1 1-4