§1.5函数极限存在准则 两个重要极限 如果数列{xn}满足条件 X1≤X2≤X3≤.≤Xn≤. 则称数列{x}是单调增加的； 如果数列{x}满足条件 X1≥X2≥X3≥.≥Xn≥. 则称数列x}是单调减少的。 单调增加数列和单调减少的数列统称为单调数列
§1.5 函数极限存在准则 两个重要极限 如果数列 xn 满足条件 x1 x2 x3 xn 则称数列 xn 是单调增加的； 如果数列 xn 满足条件 x1 x2 x3 xn 则称数列 xn 是单调减少的。 单调增加数列和单调减少的数列统称为单调数列．
准则I单调有界数列必有极限. 注：(1)利用准则I来判定数列收敛必须同时 满足数列单调和有界这两个条件. (2)单调是数列收敛的充分条件，而非必要条 件. (3)准则I只能判定数列极限的存在，而未给 出求极限的方法
（3）准则Ⅰ只能判定数列极限的存在，而未给 出求极限的方法． 准则Ⅰ 单调有界数列必有极限 . 注：（1）利用准则Ⅰ来判定数列收敛必须同时 满足数列单调和有界这两个条件． （2）单调是数列收敛的充分条件，而非必要条 件．
证明数列 -+ 当n趋于无穷大时收敛. 二项式定理复习： (a+b}”=∑Ca"*b, Ci= n！ n(n-1)(n-2).(n-k-1) !(n-k)! k! e=2.718281828459045
1 1 n n x n = + 证明数列 当 n 趋于无穷大时收敛 . 二项式定理复习： ( ) 0 , ! ( 1)( 2) ( 1) !( )! ! n n k n k k n k k n a b C a b n n n n n k C k n k k − = + = − − − − = = − ． e 2.718281828459045 =
对于准则I，,函数极限也有类似的准则，自变 量的不同变化过程（x→x0,x→x, X>00’ x→+∞)，准则有不同的形式.例如： 准则'设函数f(x)在点，的某个左邻域内单调 并且有界，则f(x)在x的左极限f(x。)必存在 例求 1+3 例2求 lim x→00
的左极限 I f x( ) 0 x f x( ) 0 x 0 f x( ) − 准则 设函数 在点 的某个左邻域内单调 并且有界，则 在 必存在． 对于准则Ⅰ，函数极限也有类似的准则，自变 量的不同变化过程（ ， ， ， ），准则有不同的形式．例如： 0 x x → − 0 x x → + x → − x → + 例2 求 1 lim 1 x x x → x + − 例3 求 1 0 lim 1 3 x x x x + → + 例1 求 1 lim 1 x x→ x −
准则Ⅱ如果数列{xn}、y,n}及{2n}满足下列条件： (1)yn≤xn≤2n,n=1,2,3,. (2)lim yn=a,lim =n=a n->oo n-→0o 则数列{xn}的极限存在，且xm=a 2 例4 证明 limsin=0 n 例5求极限 lim n-0
n n n y x z n = 1,2,3, yn a n = → lim zn a n = → lim xn xn a n = → lim 准则 II 如果数列 xn 、 yn 及 zn 满足下列条件： 则数列 的极限存在，且 ． （1） （2） , , 例4 证明 2 lim sin 0 n→ n = ． 例5 求极限 2 2 2 1 1 1 lim 1 2 n n n n n → + + + + + + ．
准则Ⅱ'设函数f(x)在点x的某一去心邻域U(x,) 内（或x≥X)满足条件： (1)g(x)≤f(x)≤h(x) (2) ling()=4,imx)=4 ()=4, →X limh(x)=A）. r-o 则limf(x)存在，且limf(x)=A（或Iimf(x)=A 存在，且limf(x)）
准则 II f (x) 0 x 0 0 U x( , ) x X 设函数 在点 的某一去心邻域 内（或 ）满足条件： 0 lim ( ) x x f x → 0 lim ( ) x x f x A → = lim f (x) x→ f x A x = → 则 （或 lim ( ) 存在，且 存在，且 ）。 （ g(x) f (x) h(x) 1） g x A x = → lim ( ) h x A x = → lim ( ) 0 lim ( ) x x g x A → = 0 lim ( ) x x h x A → ， = （或 ， ）． （2）
证明 lim sinx 二1 x>0 sinx 证明：首先注意到，函数 sinx 对于一切x≠0都有定义。 如图示单位圆中，设圆心角为 ∠408=0x引点A处的切线 与OB的延长线相交于D,又BCOA
证明 0 sin lim 1 x x → x = 证明：首先注意到，函数 对于一切 都有定义。 sin x x x 0 如图示单位圆中，设圆心角为 ，点A处的切线 与OB的延长线相交于D，又BC OA O 1 A B C D x 0 2 AOB x x = ⊥ o x y sin x y x =
则有： sinx CB,x=AB,tanx=AD 因为： △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 1 11 D 所以 sinx<。x<-tanx→sinx<x<tanx B 2 22 不等式两边同除以sinx,即得 1<x 1 或 COSx< sinx <1 sinx cosx ,lim cosx=l→limS x→0 四-1，以上对（号亦成立
O 1 A B C D x 则有： sin , ,tan x CB x AB x AD = = = 因为： ∆AOB的面积<圆扇形AOB的面积< ∆AOD的面积 所以 1 1 1 sin tan 2 2 2 x x x sin tan x x x 不等式两边同除以 sin x ，即得 1 1 , sin cos x x x sin cos 1 x x x 或 以上对 , 0 亦成立。 2 x − 0 0 sin lim cos 1 lim 1 x x x x → → x = =
例6求 lim tan x x>0 x sin 3x 例7求极限 lim →0sin5x tan x-sinx 例8求极限 lim x→0 习题：P34EX1-5
0 tan lim x x → x 例6 求 例7 求极限 0 sin 3 lim x sin 5 x → x 例8 求极限 3 0 tan sin lim x x x x − → ． 习题：P34 EX 1—5