上次课内容复习： 定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变 上限定积分 Φ(x)=∫f0dt 在[a,b]上具有导数，并且它的导数是 fd-f(x) a≤x≤b
上次课内容复习： 定理 如果函数 在区间 上连续，则变 上限定积分 f (x) [a,b] ( ) ( )d x a = x f t t d ( ) ( )d d x a x f t t x = f (x) a x b 在[ a b, ]上具有导数，并且它的导数是 =
定理 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则 函数 ()=∫，f0dt 是f(x)在[a,b]的一个原函数 牛顿一菜布尼茨公式 定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b] 上的一个原函数，则 ∫。fax)dx=F(b)-F(a)
定理 如果函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数，则 F(x) f (x) [ , ] a b ( )d b a f x x = F(b) − F(a) 定理 如果函数 在区间 上连续，则 函数 [a,b] (x) = ( )d x a f t t 是 f (x) 在 的一个原函数. f (x) [a,b] 牛顿—莱布尼茨公式
§5.3定积分的换元积分法和分部积分法 一、定积分的换元积分法 定理假设函数f(x)在区间a,b]上连续，函数 x=p(t)满足条件： (1)p()=a,p(B)=b; (2)p()在[a,B](或[B,a)上具有连续导数， 且其值域R。c[a,b],则有 ∫。f)dx=∫f[ou]oa)dt 这个公式叫做定积分的换元公式
§5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 一、定积分的换元积分法 定理 假设函数 在区间 上连续，函数 满足条件： （1） ； （2） 在 （或 ）上具有连续导数， 且其值域 , 则有 f x( ) [ , ] a b x t = ( ) ( ) , = a ( ) = b (t) [ , ] α β [ , ] β α R a b [ , ] ( )d b a f x x = f t t t ( ) ( )d 这个公式叫做定积分的换元公式
例1.计算 I[a2-x2dx (ax0). 解：令x=asint,则dx=acostdt,且 当x=0时，t=0;；x=a时，t= 原武=acos'dy yy=va2-x2 S (coad a x +2sin2t)2= 4
例1. 计算 解: 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2 x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2 = + sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2 2 0 cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 且
例2求 dx 例3求∫e1dx 例4求 ∫2cos xsin xdx 例5求 ∫vSin2x-sinxdx
例 2 求 d x x x + 41 ． 例 3 求 ln 2 0 e 1d x − x . 例 4 求 π2 5 0 cos sin d x x x . 例 5 求 π 3 5 0 sin sin d − x x x
例6设f(x)∈C[-a,a, 偶倍奇零 (I)若f(-)=f(),则，f(x)dr=20f(x)dr 2)若f(-x)=-f(x),则“f(x)dxr=0 证：9fx)dr=〔0，fx)dr+0f(x)dr =∫6f-)dt+j0fx)d 令x=-i =If(-x)+f(x)]dx 20f(x)dr,f-x)=fx)时 0 f(-x)=-f(x)时
例 6 证 : (1) 若 − = a a a f x x f x x 0 则 ( )d 2 ( )d = − f x x aa ( )d (2) 若 ( )d = 0 −aa 则 f x x f x x a ( ) d 0 − f x x a ( ) d 0 + f t t a ( ) d 0 = − f x x a ( ) d 0 + f x f x x a[ ( ) ( )]d 0 = − + f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时 偶倍奇零 令 x = − t =
例7求∫(x+2x+1)cosxdx 例8求 sinx dx 二、定积分的分部积分法 定理设函数u=u(x),v=v(x)在区间[a,b]上具 具有连续导数，则 ∫g4(x)p'()dx=[u(x)v(x)-∫v(x)u'(ax)dx
例7 求 π 2 3 π 2 ( 2 1)cos d − + + x x x x 例8 求 π 2 π sin d 1 cos − + x x x ． ． 二、定积分的分部积分法 u u x v v x = = ( ), ( ) [ , ] a b ( ) '( )d [ ( ) ( )] ( ) '( )d b b b a a a u x v x x u x v x v x u x x = − ． 定理 设函数 在区间 上具 具有连续导数，则
例9求∫2 arcsinxdx. 解-am-产 -8+-r炉an-) 话区+-1 例10求jedx
例9 求 解: 原式 = x arcsin x 1 2 0 − 2 1 0 x x x d 1 2 − 12 = (1 ) d (1 ) 2 1 2 0 2 2 1 2 1 + − x − x − 12 = 2 1 (1 ) 2 + − x 0 2 1 12 = 2 3 + −1 例10 求 1 0 e dx x ．
例11i证明，=sin”xdr=cos" n-1.n-3 n n-2 年受，n为偶数 n为奇数 n n-2 53 证：令t=号-x,则 sin"xdxsin"(drcos"xd 令l=sin"-1x,v'=sinx,则W=(n-l)sin”-2 xcOSx, V=-COSX -cosx.sin sin-2 xcosxdx
= 2 0 cos d t t n = 2 0 cos d x x n 例11 证明 证: 令 , 2 2 1 4 3 2 1 3 − n n − n n− n 为偶数 n 为奇数 , 2 t = − x 则 2 0 sin d x x n = − − 0 2 2 sin ( )d t t n 令 则 ( 1)sin cos , 2 u n x x n− = − v = −cos x [ cos sin ] 1 I x x n n − = − 0 2 − + − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d n x x x n 0
In=(n-1)"-2xcos2xdx =(n-1)sin"-2x(1-sin2x)dx =(n-1)1m-2-(n-1)1m 。= sin"xdx 由此得递推公式1n=分1n-2 于是 4m-23孤.子0 2m2m-242 1=273微子.号1 而 l,=dx=号，4=sinxdx=l 故所证结论成立
− = − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d I n x x x n n = − − 2 − 0 2 2 ( 1) sin (1 sin )d n x x x n 2 ( 1) = − n− n I 由此得递推公式 2 1 − − = n n n n I I 于是 I2m = m m 2 2 −1 I2m+1 = 2 1 2 m+ m 而 I0 = 2 0 d x , 2 = = 2 0 1 sin d I x x =1 故所证结论成立 . 0 I 1 I 2 −2 m I 2 2 2 3 − − m m 2 −4 Im 2 1 4 3 2 −1 m I 2 1 2 2 − − m m 2 −3 Im 3 2 5 4