上次课内容复习： 1、定积分的定义 ∫。fax)dx=lim∑f5)A 2、定积分存在的必要条件和两个充分条件； 3、定积分的几何意义： 4、定积分的八条性质
上次课内容复习： 1、定积分的定义 ( )d b a f x x 0 1 lim ( ) n i i i f x → = = 2、定积分存在的必要条件和两个充分条件； 3、定积分的几何意义； 4、定积分的八条性质
§5.2微积分基本公式 ∫f)dx=m∑f(5,)A怎么算？ 一、变上限定积分及其性质 y=f(x) 1.变上限定积分的定义 设函数f(在区间[a,b]上连 o a 6 续，并且设x为[a,b]上任一点. 考察f(x)在部分区间[a,x)]上的定积分 ∫fx)ds
§5.2 微积分基本公式 ( )d b a f x x 0 1 lim ( ) n i i i f x → = = 怎么算？ 一、变上限定积分及其性质 1．变上限定积分的定义 f (x) [a,b] x [ , ] a b f x( ) [ , ] a x ( ) x a f x dx 设函数 在区间 上连 续，并且设 为 上任一点. 考察 在部分区间 上的定积分 o a x b x y y f x = ( )
2、变上限定积分的性质 y=f(x) 定理1如果函数f(x)在区间 [a,b]上连续，则变上限定积分 ()f) Φ(x)=∫f)dt x5x+△xbx 在[a,b]上具有导数，并且它的导数是 W-J0d=f(x) a≤x≤b 定理2 如果函数f(在区间[a,b]上连续，则函数 (x)=∫f)di 是f(x)在[a,b]的一个原函数
a x x x + x ( ) x f ( ) ξ y f x = ( ) o y b 2、变上限定积分的性质 f (x) [a,b] ( ) ( )d x a = x f t t d ( ) ( )d d x a x f t t x = f (x) a x b 在[ a b, ]上具有导数，并且它的导数是 定理1 如果函数 在区间 上连续，则变上限定积分 = [a,b] (x) = ( )d x a f t t 是 f (x)在 的一个原函数. f (x) 定理2 如果函数 在区间 [a,b] 上连续，则函数
例1设f(x)在[0，+∞)内连续且f(x)>0,证明函 数 。fe0dr 、 F(x) ∫。fd)dt 在[0，+∞)内为单调增加函数 例2设f(x)是连续函数，F(x)=∫。f)di 求F'(x)
f (x) f x( ) 0 0 0 ( )d ( ) ( )d x x tf t t F x f t t = 例1 设 在 内为单调增加函数. 在 0,+) 内连续且 ,证明函 数 0,+) f x( ) ( ) ( )d x F x xf t t = 0 F(x) 例2 设 是连续函数， 求
例3若f(连续，且u=(x),v=v(x)可导， 则 fdi=fpe)-a]ae 4E知y广水， dx [e"di 例5求极限 lim* x-→0
f x( ) u u x v v x = = ( ), ( ) ( ) ( ) d ( )d ( ) '( ) ( ) '( ) d v x u x f t t f v x v x f u x u x x = − 例3 若 连续，且 可导， 则 d d y x 例4 已知 ，求 ． 4 2 2 1 1 x x y dt t = + 例5 求极限 1 2 -t cos 2 0 e d lim x x t → x ．
二、牛顿一莱布尼茨公式 定理1如果函数F(是连续函数f(x)在区间 [a,b处的一个原函数，则 ∫。f)dx=Fb)-Fa dx 6求3 √3 =arctanx 1 = arctan 3-arctan(-1)
二、牛顿—莱布尼茨公式 ． F(x) f (x) [ , ] a b ( )d b a f x x = F(b) − F(a) 定理1 如果函数 是连续函数 上的一个原函数，则 在区间 例6 求 解: x x x arctan 1 3 d 1 2 = + − 1 3 − = arctan 3 − arctan(−1) 3 = 12 7 ) = 4 ( − −
例7.计算正弦曲线y=sinx在[0，π]上与x轴所围成 的面积 yy=sinx 解：A=∫sinxdx =-csx0=-1-]=20 πx 例8求∫V1+cos2xdx
例7. 计算正弦曲线 的面积 . 解: = 0 A sin xdx = −cos x 0 = −[−1−1] = 2 y o x y = sin x 例8 求 0 1 cos 2 d x x +
例9设f(为分段函数，在[0,2]上连续， 2-x2 0≤x≤1 f(x)= 1<x≤2 求∫。f(x)dx
f x( ) [0, 2] ( ) x x f x x x − = 2 2 0 1 1 2 f x x ( )d 2 0 例9 设 为分段函数,在 求 . 上连续
本次课内容小结 作业：习题5-2 1.微积分基本公式 设f(x)∈C[a,b],且F(x)=f(x),则有 ∫fax)dx=f5b-a)）=F'(5b-a)=Fb)-Fa) 积分中值定理 微分中值定理 牛顿-莱布尼兹公式 2.变限积分求导公式
本次课内容小结 设 f (x)C[a,b], 且F(x) = f (x), 则有 1. 微积分基本公式 = f x x b a ( )d 积分中值定理 = F()(b − a) = F(b) − F(a) 微分中值定理 f ()(b − a) 牛顿 – 莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式 作业：习题5-2