§1.4无穷小量与无穷大量无穷小的比较 一、无穷小量 定义1当x→x（或x→o)时，如果函数f(x) 的极限为零，则称f(x)函数为当xx,(或x→o） 时的无穷小量，简称无穷小. 定理1 在自变量的同一变化过程x→x。 (或x→o)中，函数f(x)的极限为A的充分必要 条件是f(x)=A+a,其中是无穷小
§1.4 无穷小量与无穷大量 无穷小的比较 一、无穷小量 定义1 当 （或 ）时，如果函数 的极限为零，则称 函数为当 （或 ） 时的无穷小量，简称无穷小． 0 x x → x → f x( ) f x( ) 0 x x → x → 定理1 在自变量的同一变化过程 （或 ）中，函数 的极限为 的充分必要 条件是 ，其中 是无穷小． 0 x x → x → f x( ) A f x A ( ) = +
二、无穷大量 定义2设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定 义（或当x大于某一正数时有定义），如果对任意给 定的正数M(无论它多么大)，总存在正数6（或正 数x),使得对于适合不等式0X) 的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)>M 那么就称函数f(x)为当x→x,（或x→∞)时的无穷大 (量)·记为1imf(x)=o（或1imf(x)=o). >X
二、无穷大量 定义2 设函数 在点 的某一去心邻域内有定 义（或当 大于某一正数时有定义），如果对任意给 定的正数 （无论它多么大），总存在正数 （或正 数 ），使得对于适合不等式 （或 ） 的一切 ，对应的函数值 都满足不等式 那么就称函数 为当 （或 ）时的无穷大 （量）．记为 （或 ）． f (x) 0 x x M X 0 0 − x x x X x f (x) f (x) M f (x) 0 x x → x → 0 lim ( ) x x f x → = = → lim f (x) x
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x) 为无穷大，则1为无穷小；反之，如果f(x)为 f(x) 无穷小，且≠0，则f 为无穷大. 三、无穷小量的运算法则 定理3两个无穷小的和、差仍是无穷小. 推论1有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理4有界函数与无穷小的乘积是无穷小
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，则 为无穷小；反之，如果 为 无穷小，且 ，则 为无穷大． f (x) ( ) 1 f x f (x) f x( ) 0 ( ) 1 f x 三、无穷小量的运算法则 定理3 两个无穷小的和、差仍是无穷小． 推论1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小． 定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
推论2常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小． 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小．
四、无穷小的比较 lima=0,lim B=0 如果1im卫=0，就说B是比a高阶的无穷小， 记作B=o() 如果1im形=o, 就说B是比α低阶的无穷小； B 如果limP=c≠0，就说B是与a同阶无穷小； 如果imB =c≠0，k>0,就说B是关于α的k阶 无穷小： 如果mB=1,就说a与B是等价无穷小， 记作a~B
如果 ，就说 是比 高阶的无穷小， 记作 ； 如果 ，就说 是比 低阶的无穷小； 如果 ，就说 是与 同阶无穷小； 如果 ，就说 是关于 的 阶 无穷小； lim 0 = = o( ) lim = lim 0 c = lim 0, 0 k c k = k lim = 1 ~ 如果 ，就说 与 是等价无穷小， 记作 . 四、无穷小的比较 lim 0,lim 0 = =
定理5 筠是等价无穷小的充分必要条件为 B=a+o(a) 定理6设 Q心6B阻m存在，贝 d-lim 本次课作业：Ex1一4
与 = + o( ) 定理5 是等价无穷小的充分必要条件为 ． ~ ~ lim lim lim 定理6 设 , ,且 存在，则 = . 本次课作业：EX 1 — 4