第八章二重积分 tz z=f(x,y) 定积分概念回顾 f(5, §8.1二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 设f(x,y)为定义在有界闭区域 D上的非负连续函数,求以曲面 X (537,) f(x,y)为顶,D为底的柱体的体积。 解:将区域D用任意一组曲线网分割成n个小区域:△o △o2,△o3,.,△on,△o,表第i个小区域的面积(i=1,2,.,n) 同时,这曲线网格也相应地将曲顶柱体分割成个以△o,为底
第八章 二重积分 定积分概念回顾 §8.1 二重积分的概念与性质 设 为定义在有界闭区域 上的非负连续函数,求以曲面 为顶, 为底的柱体的体积。 f x y ( , ) D f x y ( , ) D o x y z D z f x y = ( , ) ( , ) i i • ( , ) i i f i 一、二重积分的概念 解:将区域 用任意一组曲线网分割成 个小区域: , 表第 个小区域的面积 同时,这曲线网格也相应地将曲顶柱体分割成 个以 为底 D n i i ( 1, 2, , ) i n = 1 2 3 , , , n n i
的小曲顶柱体△yi=1,2,.,n)。由于∫在D上连续,故 当每个△o,的直径都很小时,f(x,y)在△o,上的函数值都相 差无几,故取(5,n,)∈△o,则 △V≈f(5,7,)△o V=∑AW≈∑f5,n,)Ao i=1 令=maxd,(d,为△o,的直径),如果元趋于零时,上述和 <i<n 式的极限存在,即有 1im∑f(5,n,)△o,eV 1→0 i=1
的小曲顶柱体 。由于 在 上连续,故 当每个 的直径都很小时, 在 上的函数值都相 差无几,故取 ,则 ( 1,2, , ) = V i n i f i f x y ( , ) D i ( , ) i i i ( , ) V f i i i i 1 1 ( , ) n n i i i i i i V V f = = = 令 ,如果 趋于零时,上述和 式的极限存在,即有 1 max (i i i i n d d = 为 的直径) 0 1 lim ( , ) n i i i i f V → =
2.二重积分的定义 定义设f(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界 函数,将闭区域任意分成n个小闭区域: △01,△02,.,△0m 其中△o既表示第i个小闭区域,也表示它的面积,在每 个小闭区域△o上任取一点(⑤n,),作乘积f5,)△o, 并作和∑f(5,n,)△o,如果当这些小闭区域直径的最大 值2趋于零时,和式的极限 m∑f5,n,)△o 2- i=1
2. 二重积分的定义 定义 设 是定义在有界闭区域 上的有界 函数,将闭区域任意分成n个小闭区域: 其中 既表示第i 个小闭区域,也表示它的面积,在每 个小闭区域 上任取一点 ,作乘积 , 并作和 .如果当这些小闭区域直径的最大 值 趋于零时,和式的极限 f (x, y) D 1 2 , , , n i i ( , ) i i ( , ) i i f i = n i i i i f 1 ( , ) = → n i i i i f 1 0 lim ( , )
存在,此极限与闭区域D的分法及点(5,n,)在△σ,上的 取法无关.则称函数在闭区域D上可积,此极限值称为 函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作f(x,ydo 即 ∬fxdo=m∑f5n,Ao 其中f(x,y)称为被积函数,f(x,y)do称为被积表达 式,do称为面积元素,x与y称为积分变量,D称为 积分区域,∑f(5,)△o,称为积分和
存在,此极限与闭区域 的分法及点 在 上的 取法无关.则称函数在闭区域 上可积,此极限值称为 函数 在闭区域 上的二重积分,记作 即 其中 称为被积函数, 称为被积表达 式, 称为面积元素, 与 称为积分变量, 称为 积分区域, 称为积分和. ( , ) i i i f (x, y) D f (x, y) D D f (x, y)d = D f (x, y)d = → n i i i i f 1 0 lim ( , ) f (x, y)d x y D 1 ( , ) n i i i i f = D d
关于二重积分定义的两点说明。 关于二重积分的几何意义的说明。 二、二重积分的性质 性质1设2,为常数,则 fm+gx加o=a+xaa 性质2若D=D,UD且D,公共内点,则 fxHo=∬fx,da+fx,da
关于二重积分定义的两点说明。 关于二重积分的几何意义的说明。 二、二重积分的性质 , + = + D D D [f (x, y) g(x, y)]d f (x, y)d g(x, y)d 性质1 设 为常数,则 性质2 若 D D D = 1 2 ,且 D D1 2 , 无公共内点,则 = + 1 2 ( , )d ( , )d ( , )d D D D f x y f x y f x y
性质3 若在D上f(x,y)=1,o为D的面积,则 o=j川oldo=∬nda 性质4若在D上f(x,y)≤p(x,y),则 J∬nfx,)do≤∬np(xy)do 特别,由于-f(x,y)≤f(x,y)≤f(x,y) .J∬of(x,)do≤∬of(x,)ldo 性质5M=maxf(x,y),m=minf(x,y),D的面积为o, D 则有 mo≤∬nf(x,y)do≤Ma
性质3 = = D D 1 d d 为D 的面积, 则 特别, 由于 − f (x, y) f (x, y) f (x, y) D f (x, y)d 则 D f (x, y) d D (x, y)d f (x, y) (x, y) , D f (x, y) d D 的面积为 , m f x y M D 则有 ( , )d 性质4 若在D上 性质5
性质6设函数f(x,y)在闭区域D上连续 o为D的面积,则至少存在一点(5,)∈D,使 ∬nfx,)do=f5,)o 证:由性质6可知, 二重积分的中值定理 m≤glnf,Jdo≤M 由连续函数介值定理,至少有一点(5,)∈D使 (n)=f(x.y)do 因此 ∬nfx,)do=f(5,)o
f (x, y)d f (, ) D = 证: 由性质6 可知, m f x y M D ( , )d 1 由连续函数介值定理, 至少有一点 = D f f x y ( , )d 1 ( , ) 在闭区域D上 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 连续, 因此 性质6 二 重 积 分 的 中 值 定 理
例1.比较下列积分的大小 S(x+y)2do.S(x+y)do 其中D:(x-2)2+(y-1)2≤2 解:积分域D的边界为圆周 23x (x-2)2+(0y-1)2=2 X+y= 它与x轴交于点(1,0),与直线x+y=1相切.而域D位 于直线的上方,故在D上x+y≥1,从而 (x+y)2≤(x+y)3 .j(x+y)2do≤∬x+)3do
例1. 比较下列积分的大小: ( ) d , ( ) d 2 3 + + D D x y x y 其中 :( 2) ( 1) 2 2 2 D x − + y − 解: 积分域 D 的边界为圆周 x + y =1 3 2 3 (x + y) (x + y) 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 x + y 1, 从而 ( ) d ( ) d 2 3 + + D D x y x y 于直线的上方, 故在 D 上 1 y o 2 x 1 D
例2估计积分值 j(0r+42+9do,D={《(x,yx2+≤4 作业:EX8-1 本次课内容小结 1.二重积分的定义 Jnf)do=lm∑f5:,n)Aa 入→0 i=1 2.二重积分的性质(与定积分性质相似)
例2 估计积分值 ( ) ( ) 2 2 2 2 4 9 , , 4 D x y d D x y x y + + = + 本次课内容小结 1. 二重积分的定义 D f (x, y)d i i i n i f = = → lim ( , ) 1 0 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 作业:EX 8-1