第十章 微分方程与差分方程 探索和研究变量与变量之间的关系是社会科学与 自然科学问题中所面临的重要课题。一般而言，变量 与变量之间有如下两种关系： 1、确定性关系 立方体的体积与边长之间的关系； 自由落体运动中距离与时间的关系等。 2、随机性关系 人的身高与体重之间的关系； 人的年龄与血压之间的关系等
第十章 微分方程与差分方程 探索和研究变量与变量之间的关系是社会科学与 自然科学问题中所面临的重要课题。一般而言，变量 与变量之间有如下两种关系： 1、确定性关系 立方体的体积与边长之间的关系； 自由落体运动中距离与时间的关系等。 2、随机性关系 人的身高与体重之间的关系； 人的年龄与血压之间的关系等
微分方程是寻求具有确定性关系的变量之间的 关系的科学； 概率论与数理统计则是研究具有随机性关系的 变量之间的关系的科学。 方程的概念： 代数方程一含有未知数的方程。 微分方程一含有未知函数的导数或微分的方程
微分方程是寻求具有确定性关系的变量之间的 关系的科学； 概率论与数理统计则是研究具有随机性关系的 变量之间的关系的科学。 方程的概念： 代数方程 — 含有未知数的方程。 微分方程 — 含有未知函数的导数或微分的方程
§10.1微分方程的基本概念 引例1一曲线通过点(1,2)，在该曲线上任意点 处的切线斜率为2x,求该曲线的方程. dy 方程： =2x dx yx1=2 通解：y=x2+C 特解：y=x2+1
§10.1 微分方程的基本概念 引例1 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点 处的切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . x y o 方程： 1 2 2 x dy x dx y = = = 通解： 2 y x C = + 特解： 2 y x = +1 (1, 2)
引例2列车在平直路上以20m/s的速度行驶， 制动时获得加速度a=-0.4m/s2，求制动后列车的 运动规律. d2s 方程： =-0.4 d:2 ds S=0=0, dtt=020 通解：s=-0.2t2+C1t+C2 特解：8=-0.2t2+20t
引例2 列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时获得加速度 求制动后列车的 运动规律. 0 , s t=0 = 方程： 通解： 1 2 2 s = − 0.2t +C t +C 特解： s 0.2 t 20 t 2 = − +
定义1一个方程，如果含有未知函数的导数或 微分，则称该方程为微分方程；微分方程中出现的 未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶.未知 函数是一元函数的微分方程称为常微分方程 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分 方程 常微分方程（本章内容） 分类 偏微分方程
定义1 一个方程，如果含有未知函数的导数或 微分，则称该方程为微分方程；微分方程中出现的 未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶. 未知 函数是一元函数的微分方程称为常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分 方程. 常微分方程 偏微分方程 (本章内容) 分类
一般地，n阶常微分方程的形式是 F(x,yy',.,ym)=0 (1) 或 ym）=f(x,y,y,.,ym-)(n阶显式微分方程) 定义2如果将已知函数y=(x代入方程()后， 能使其成为恒等式，则称函数 y=逯对程(1)的 解. 定义3若微分方程的解中含有任意常数，且相互 独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称 此解为微分方程的通解.如果微分方程的解中不含任 意常数，称这样的解为该微分方程的特解
( , , , , ) 0 ( ) = n F x y y y ( , , , , ) ( ) ( −1) = n n y f x y y y (n 阶显式微分方程) 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 或 定义2 如果将已知函数 代入方程 (1)后， 能使其成为恒等式，则称函数 是方程(1) 的 解． y = (x) y = (x) （1） 定义3 若微分方程的解中含有任意常数，且相互 独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称 此解为微分方程的通解．如果微分方程的解中不含任 意常数，称这样的解为该微分方程的特解．
定解条件一确定通解中任意常数的条件。 n阶方程的初始条件（或初值条件）： (o)=%,(x)=%,yn-(xo)=- 2x d2y 引例1 x 引例2 dr2 =-0.4 yx==2 0=0,410=20 通解： y=x2+C s=-0.2t2+C1t+C2 特解：y=x2+1 s=-0.2t2+20t
0 , s t=0 = 20 d 0 d = t t= 引例2 s 0.4 2 2 d d = − x y ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) − − = = = n n y x y y x y y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): x x y 2 d d = y x=1= 2 引例1 y = x +C 2 1 2 2 通解: s = −0.2t +C t +C s 0.2t 20t 2 1 = − + 2 特解: y = x + 定解条件
微分方程的解函数的图形是曲线，叫做微分方 程的积分曲线.通解表示一族积分曲线，特解表示 积分曲线族中某一条特定的曲线。 例3验证函数 y=C sin x+C2 cosx (C1,C,为任意常数)是方程 衣 y”+y=0的通解， 并求出满足初始条件以-=1，y儿=-1的特解
微分方程的解函数的图形是曲线，叫做微分方 程的积分曲线．通解表示一族积分曲线，特解表示 积分曲线族中某一条特定的曲线． x y o (1, 2) 例3 验证函数 ( 为任意常数)是方程 的通解， 并求出满足初始条件 的特解． y C sin x C cos x = 1 + 2 1 2 C ,C y + y = 0 π π 4 4 1, 1 x x y y = = = = −
§10.2可分离变量的微分方程与齐次方程 在本节和下一节的内容中，我们将讨论一些特 殊的一阶微分方程F(x,y,y)=0的解法， 一、可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能化成 dy =f(x)0y)→ g(y)dy=f(x)dx dr 的形式，则该方程就称为可分离变量的微分方程
§10.2 可分离变量的微分方程与齐次方程 F x y y ( , , 0 ) = 在本节和下一节的内容中，我们将讨论一些特 殊的一阶微分方程 的解法. 一、 可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能化成 的形式，则该方程就称为可分离变量的微分方程． ( ) ( ) d d f x y x y = g( y)dy = f (x)dx
例1求微分方程 d少=2的通解. dx 例2求微分方程 -x1+y2) dx (1+x2)y 满足初始条件yl0=1的特解， 例3求微分方程(1+y2)x-xy1+x2)dy=0 满足初始条件y()=2的特解
例1 求微分方程 xy x y 2 d d = 的通解． x y x y dx dy (1 ) (1 ) 2 2 + + = y | x=0 =1 例2 求微分方程 满足初始条件 的特解. 2 2 (1 )d (1 )d 0 + − + = y x xy x y y(1) = 2 例3 求微分方程 满足初始条件 的特解