上次内容复习： 二重极限的定义 设z=f(x,)在点P(x,)的某一邻域内有定义 (点P可以除外)，如果Vε>0,36>0，使得对于 适合不等式0<|PP=√x-xP+0-》<6的一切 点P(x,),都有f(x,y)-A<成立，则称常数A 为函数f(x,y)当(x,y)→(x,乃)时的极限，记做 lim f(x,y)=A (x,y)→(x0y%）
上次内容复习： 设 在点 的某一邻域内有定义 （点 可以除外），如果 ，使得对于 适合不等式 的一切 点 ，都有 成立，则称常数 为函数 当 时的极限，记做 z f x y = ( , ） 0 0 0 P x y （ , ) P0 0, 0 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) = − + − PP x x y y P x y （ , ) f x y A ( , ) − A f x y ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) x y x y → 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y A → = 二重极限的定义
教学要求： 1、理解二重极限的定义； 2、理解二重极限问题的证明思路，掌握证明 一些简单题目的方法，特别是证明某些极限不存在 的问题； 3、根据一元函数求极限的方法，会求简单的 二重极限问题（切记：洛必达法则不可用！）
教学要求： 1、理解二重极限的定义； 2、理解二重极限问题的证明思路，掌握证明 一些简单题目的方法，特别是证明某些极限不存在 的问题； 3、根据一元函数求极限的方法，会求简单的 二重极限问题（切记：洛必达法则不可用！）
多元函数的连续性 定义3设函数z=f(x,y)在点(，)的某一邻 域内有定义，如果，Iim、f(x,y)=f(xo,),则称 x,y)→(x0,y0 函数z=f(x,y)在点B,(x)连续。 如果函数z=f(x,y)在D上的每一点都连续，则 称函数在D上连续，或称f(x,y)是D上的连续函数， 一切多元初等函数在其定义区域内都连续
多元函数的连续性 定义3 设函数 在点 的某一邻 域内有定义，如果 ，则称 函数 在点 连续。 z f x y = ( , ) 0 0 0 P x y ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y → = z f x y = ( , ) 0 0 0 P x y ( , ) 如果函数 在D上的每一点都连续,则 称函数在D上连续，或称 是 D上的连续函数. z f x y = ( , ) f x y ( , ) 一切多元初等函数在其定义区域内都连续
性质1（最大值最小值定理）在有界闭区域D上的 多元连续函数，必在D上能取得它的最大值和最小值. 性质2（有界性定理）在有界闭区域D上的多元连 续函数必在D上有界. 性质3（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续 函数，必能取得介于最大值和最小值之间的任何值
性质1 (最大值最小值定理) 在有界闭区域D上的 多元连续函数,必在D上能取得它的最大值和最小值. 性质2 (有界性定理) 在有界闭区域D上的多元连 续函数必在D上有界. 性质3 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续 函数,必能取得介于最大值和最小值之间的任何值
§7.2偏导数 一、一阶偏导数 定义设函数z=f(x,y)在点(x,)的某一邻域 内有定义，当y固定在y,而x在x处有增量△x时， 相应地函数有增量f(x+x,%)f(x,),如果极 限 f(x+△x,y)-f(xo,yo) △x z=f(x,y) (x,y%) 存在，则称此极限值为函数 在点 处 对的偏导数，记作：
§7.2 偏导数 定义 设函数 在点 的某一邻域 内有定义，当 固定在 而 在 处有增量 时， 相应地函数有增量 ，如果极 限 存在，则称此极限值为函数 在点 处 对 的偏导数，记作：z f x y = ( , ) 0 0 ( , ) x y y 0 y x 0 x x 0 0 0 0 f x x y f x y ( , ) ( , ) + − x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 z f x y = ( , ) 0 0 ( , ) x y x 一、一阶偏导数
af 2(x0,y0)2f(0,6) X=X0 y=yo 8x X=X0 y= 即 f(o2 o)=lim ∫(x+Ax,yo)-f(xo,yo) △x-→0 △x 类似地，函数z=f(x,y)在点(x,y)处对y的偏导数 定义为： lim f(x0,yo+△y)-f(xo,y) y->0 △y 记做： 影 dy 2,(x0,yo) f(xo,yo） f(xo2o)=lim f(o2Yo+Ay)-f(xo,Yo) 即 -→0 △y
f x (x0 , y0 ) = x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 类似地,函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数 定义为： y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 y y x x y z = = 0 0 y y x x y f = = ( , ) 0 0 z x y y ( , ) 0 0 f x y y f y (x0 , y0 ) = y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记做： 即 0 0 , x x y y z x = = 0 0 , x x y y f x = = 0 0 ( , ), x z x y 0 0 ( , ). x f x y 即
aa 特别说明：(1)x心是一个整体符号，不可以分开。 (2)如果函数f(x,y)在点(x,)存在关于x的偏导数， 则函数至少在{x,y=x-x<可}必须有定义。 =f(x,y) 偏导数的几何意义： "\z=f(x,y)
特别说明：（1） x y , 是一个整体符号，不可以分开 。 （2）如果函数 在点 存在关于 的偏导数， 则函数至少在 必须有定义。 f x y ( , ) 0 0 ( , ) x y x ( , ) , x y y y x x = − 0 0 偏导数的几何意义： 0 : ( , ) y y C z f x y = = y x z o z f x y = ( , ) D 0 y 0 0 ( , ) x y P0
例1设函数f(x,y)=x3+2x2y-y 试求：f(1,3),f(1,3)。 例2设z=x(x>0),试求 0z 8z '0y 例3设u=sin(x+y2-e),试求 ououou Q Oror ar 例4设r=√x2+y2+z2,试求 ax'ya证 例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R常数) 试证： ap av aT =-1 av aT ap
例1 设函数 试求： 3 2 3 f x y x x y y ( , ) 2 = + − (1,3), (1,3) x y f f 。 例2 设 z x x = y ( 0) ，试求 , 。 z z x y 例3 设 u x y e = + − sin( ) 2 z ，试求 , , 。 uuu x y z 例4 设 2 2 2 r x y z = + + ，试求 , , 。 r r r x y z 例5 已知理想气体的状态方程为 (R常数） 试证： pV RT = 1 p V T V T p = −
偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导→连续， 多元函数中在某点偏导数存在？ 连续， 创如商数功=平，+0 y 0, x2+y2=0 依定义知在(0,0)处，f(0,0)=f(0,0)=0. 但函数在该点处并不连续.偏导数存在一连续
偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 例如,函数 + = + = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y , 依定义知在(0,0)处， f x (0,0) = f y (0,0) = 0. 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续
二、 高阶偏导数 由于=f(x,y)的偏导数∫，(x,y),(x,) 仍然是 自变量的函数，如果其偏导数也存在，则称函数具有二阶 偏导数，二元函数的偏导数具有如下四种形式： a Ox Ox2 =f(x.y) Oxoy =f,(x,) 62z 8x =f（x,月 82 ayox 8y =j（x, 类似可以定义更高阶的偏导数
二、 高阶偏导数 由于 的偏导数 仍然是 自变量的函数，如果其偏导数也存在，则称函数具有二阶 偏导数,二元函数的偏导数具有如下四种形式： z f x y = ( , ) ( , ), ( , ) x y f x y f x y 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x x x y y x y y z z z z f x y f x y x x x y x x y z z z z f x y f x y x y y x y y y = = = = = = = = 类似可以定义更高阶的偏导数