第一章 第五节极限运算法则 (Techniques for Finding Limits 一、数列极限的四则运算 二、函数极限的四则运算法则 三、无穷小量的运算法则 四、复合函数的极限运算法则 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第五节 极限运算法则 第一章 （Techniques for Finding Limits ） 二、函数极限的四则运算法则 一、数列极限的四则运算 三、无穷小量的运算法则 四、复合函数的极限运算法则
一、数列极限的四则运算 定理1若lim=A,lim yn=B,则有 n->oo n->oo (I)lim(xn±yn)=A±B (2)lim xnyn AB n-→o0 (3)当y,≠0且B≠0时，1imn=4 n-→∞ynB 注意：定理1中的（1)、(2)可推广到有限个收敛 数列的情形.例如，如果limx=A,limy=B,lim2n=C, n→0 n->oo 1n→o 则有lim(xn+yn-2n)=limx+lim y-limzn=A+B-C n-→00 n→0 lim()=limx,lim ylim=A.B.C n>0 n-→0 n-→0 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、数列极限的四则运算 yAx n B ,lim,lim n n n = = → ∞ → ∞ 则有 )(lim)1( nn n ± yx → ∞ nn n yx → ∞ lim)2( ≠ By ≠ 时且当 ,00)3( n B A y x n n n = ∞→ lim = A ± B = A B 定理1 若 注意： 定理 1中的（ 1）、（ 2）可推广到有限个收敛 数列的情形 . 例如， lim , lim ,lim n nn nn n xA yB zC →∞ →∞ →∞ 如果 = = = ， 则有 lim ( n nn ) n xyz →∞ + − lim lim lim n nn nnn xyz →∞ →∞ →∞ ＝ + − ＝ A + B C− lim( ) n nn n xyz →∞ lim lim lim n nn nn n xyz →∞ →∞ →∞ ＝ ⋅ ⋅ ＝ A⋅ B C⋅
1 2 例1 lim 2十 3 ?(习题1-51(3)) n-→o n n n(n+1) 解：原式=lim2 =lim(1+) n->oo n-→02 1 =lim.lim(1+-） n→02n→0 n 1 .(lim1+lim 2`n→0 n-→on 2009年7月3日星期五 3 目录○ 、上页○ (下页 、返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 ? 321 lim 222 2 =⎥⎦ ⎤ ++++ ⎢⎣ ⎡ ∞→ n n n nnn " 解 : 原式 2 1 ( 1) 2 limn n n →∞ n + = ) 1 1( 2 1 lim n n += ∞→ 例 1 1 1 lim lim(1 ) n n →∞ →∞ 2 n =⋅+ 1 1 (lim1 lim ) 2 n n →∞ →∞ n =⋅ + 1 (1 0) 2 =⋅+ 1 2 = （习题1-5 1 （ 3））
二、函数极限的四则运算法则 定理2若limf(x)=A,limg(x)=B (1)lim[f(x)+g(x)]=4+B (2) lim[f(x)-g(x】=A-B. (3) lim[f(x)g(x)]=AB. (4) lim f()4 (B≠0) 8(x)B 说明：定理2中的（1)、(2)可推广到有限个函数相 乘的情形. 推论1lim[Cf(x)]=Clim f(x) (C为常数) 推论2lim[f(x)]”=[limf(x)]” (n为正整数) 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 二、函数极限的四则运算法则 定理2 若 （１） lim[ ( ) ( )] . f x gx A B − = − lim[ ( ) ( )] . （２） （３） f x g x AB = （４） lim ( ) ,lim ( ) f x A gx B = = lim[ ( ) ( )] . f x gx A B + = + ( ) lim . 0 ( ) fx A B gx B = （ ） ≠ 说明: 定理 2中的（ 1）、（ 2）可推广到有限个函数相 乘的情形 . 推论 1 C f = Cx f x)(lim)](lim[ ( C 为常数 ) 推论 2 n n = xfxf ])(lim[)](lim[ ( n 为正整数 )
三、无穷小量的运算法则 定理3有限个无穷小的代数和仍是无穷小 思考： 1 lim 解答见课本第六节例3 说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！ 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 三、无穷小量的运算法则 定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 思考： 22 2 11 1 lim 1 2 n n n nn →∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ++ ⎝ ⎠ ++ + " ＝？1 解答见课本第六节 例 3 说明 : 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
定理4有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证：设Vx∈U(xo,6),u≤M 又设1ima=0,即6>0,362>0，当x∈U(xo,δ2) X→X0 时有a下司 取6=min{61,δ2}，则当x∈U(xo,δ)时，就有 uw=uax|≤M.&=& 故lim ua=0,即ua是x→xo时的无穷小. X→X0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小. 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 定理 4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 证 : 设 ,),( δ 10 xx D ∈∀ ∪ ≤ Mu 又设 ,0lim0 = → α xx 即 ∀ ε > ,0 ,0 ∃ δ 2 > 当 ),( δ 20 xx D ∈ ∪ 时, 有 M ε α ≤ 取 { },min δ = δ δ 21 则当 ),(xx 0 δ D ∈ ∪ 时 , 就有 u α = u α ε ε ≤ ⋅ = M M 故 ,0lim0 = → u α xx 即 u α 是 0 → xx 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小
例2求lim si 1.(课本习题1-55(2)} x→00X 解：sinx≤1 sin x V= lim=0 x→0X 利用定理4可知li sinx=0. x→0X 说明：y=0是y=snx 的渐近线 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 o y x . sin lim x x x ∞→ 解 : ∵ x ≤1sin 0 1 lim = x ∞→ x 利用定理4 可知 .0 sin lim = ∞→ x x x x x y sin = 说明 : y = 0 是 x x y sin = 的渐近线 . 例2 求 （课本习题 1 －5 5 （ 2 ） ）
例3求lim(x3-3x+5) 解：1im(x-3x+5)=limx3-lim3x+lim5 x2 x→2 -(网小-3调x+5 x2 =23-3×2+5=7 例4 x2+1 lim- x2x3-3x+5 解：由例3得，1im(x-3x+5)=7≠0 X→2 x2+1 lim(x2+1) limx2+liml lim x→2 →2 X→2 2x3-3x+5 1im(x3-3x+5) 7 x→2 22+15 7 7 2009年7月3日星期五 8 目录 (上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 3 2 lim( 3 5). x x x → 例3 求 − + 3 2 lim( 3 5) x x x → − + 3 2 limx x → = 2 lim 3 x x 解 → : − 2 lim 5 x → + ( ) 3 2 limx x → = 2 3limx x → − + 5 3 = 2 −3 2 × + 5 = 7 例 4 2 3 2 1 limx 3 5 x → x x + − + 解 : 由例 3得， 3 2 lim( 3 5) 7 0 x x x → − + =≠ 2 3 2 1 limx 3 5 x → x x + − + 2 2 3 2 lim( 1) lim( 3 5) x x x x x → → + = − + 2 2 2 lim lim1 7 x x x → → + = 2 2 1 7 + = 5 7 =
我们指出，对于有理整函数（多项式) f(x)=ax”+ax"-1+.+an 或有理分式函数0)-C得共中P以Q泰是多项式， P(x) 且Q(x)≠0，要求其当x→时的极限，只要把代入函 中即可；但对于有理分式函数，如果代入x后，分母等 于零，则没有意义，不能通过直接代入的方法求极限， 事实上，设多项式f(x)=ax”+ax”-1+.+an,则 1imf(x)=lim(ax”+a,x”-+.+an) =a(imx)”+a,(limx)”-+.+lim a =ax”+ax"-1++an=f(x) 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 对于有理整函数（多项式） 1 0 1 ( ) n n n f x ax ax a − = + ++ " 我们指出， 或有理分式函数 ( ) () , ( ) P x F x Q x = 其中 Px Qx ( ), ( ) 都是多项式， 且 0 Q x( ) 0, ≠ 要求其当 0 x → x 时的极限，只要把 0 x 代入函 中即可； 但对于有理分式函数，如果代入 0 x 后，分母等 于零，则没有意义，不能通过直接代入的方法求极限． 事实上，设多项式 1 0 1 ( ) , n n n f x ax ax a − = + ++ " 则 0 lim ( ) x x f x → 0 1 0 1 lim ( ) n n n x x ax ax a − → = + ++ " 0 0 (lim ) n x x a x → = 0 1 1 (lim ) n x x a x − → + 0 lim n x x a → + + " 1 00 10 n n n ax ax a − = + ++ " 0 = f x( )
又设有理分式函数 F(x)= P(x) e(x)' 其中P(x),Q(x)都是多项式，于是， lim P(x)=P(x),lim Q(x)=(x); x→x0 如果Q(x)≠0，则 lim P(x) lim F(x)= x→x0 P(xo) =F(x) X→x0 lim O(x) e(xo) x→X0 如果Q(x)=0,则不能直接用商的运算法则，那就需要 特别考虑。 2009年7月3日星期五 10 目录○ 上页( 下页 、返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 又设有理分式函数 ( ) () , ( ) P x F x Q x = 其中 Px Qx ( ), ( ) 都是多项式， 于是， 0 0 lim ( ) ( ), x x Px Px → = 0 0 lim ( ) ( ); x x Qx Qx → = 如果 0 Q x( ) 0, ≠ 则 0 lim ( ) x x F x → = )(lim )(lim 0 0 xQ P x xx xx → → )( )( 0 0 xQ P x = 0 = F x( ) 如果 0 Q x( ) 0, = 则不能直接用商的运算法则 ，那就需要 特别考虑．