第二章 第三节高所导数 Derivative of Higher Order 一、基本求导法则与导数公式复习 二、高阶导数的定义 三、一些常见函数的高阶导数公式 四、高阶导数的运算法则 五、本章小结与思考题 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第三节 高阶导数 第二章 三、一些常见函数的高阶导数公式 二、高阶导数的定义 一、基本求导法则与导数公式复习 四、高阶导数的运算法则 （ Derivative of Higher Order ） 五、本章小结与思考题
一、 基本求导法则与导数公式复习 1.常数和基本初等函数的导数 (C)'=0 (x“)y=x- (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tanx)'=sec2x (cotx)'=-cscx (secx)'=secxtanx (cscx)'=-cscx cotx (a*)'=a*Ina (ex)'=ex (o xIna (Inx)'= x (arcsinx)= 1-x2 (arccosx)'= 1- 1 (arctanx)'= 1+r2 (arccotx)'=- 1+x 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、基本求导法则与导数公式复习 1. 常数和基本初等函数的导数 C)( ′ = 0 )( ′ = μ x μ − 1 μ x x)(sin ′ = cos x x)(cos ′ = −sin x x)(tan ′ = x 2 sec t x)(co ′ = 2 −csc x x)(sec ′ = tansec xx x)(csc ′ = −csc cot x x )( ′ = x a aax ln )( ′ = x e x e g a x)(lo ′ = x ln a 1 x)(ln ′ = x 1 x)(arcsin ′ = 2 1 1 − x x)(arccos ′ = 2 1 1 x − − x)(arctan ′ = 2 1 1 + x x)cot(arc ′ = 2 1 1 x − +
2.函数的和、差、积、商的求导法则 (u±v)'='±v' (Cu)'=CW'(C为常数) (uv)'=u'v +uv' (=-m (v≠0) 3.反函数的求导法则 设y=f(x)为x=-(y)的反函数，f(y)在的某邻域 单调可导，且[f(y川≠0，则f'"(x)= 1 [f-(y] 4.复合函数求导法则 y=f(u),u=p(x) dydy du dx du dx =f'(u)p'(x 5.初等函数在定义区间内可导，且导数仍为初等函数 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 ± vu )( ′ = ′ ± vu ′ uC )( ′ = uC ′ vu )( ′ = ′ + vuvu ′ ( ) =′ v u 2 v ′ − vuvu ′ ( C为常数 ) v ≠ )0( 3. 反函数的求导法则 单调可导, ,)()( 设 = 为 = − 1 yfxxfy 的反函数 1 fy y ( ) − 在 的某 邻 域 1 [ ( )] 0 f y − 且 ′ ≠ ， 则 ′ xf )( = 1 ])([ 1 ′ − yf 4. 复合函数求导法则 = = ϕ xuufy )(,)( = x y d d = ′ ⋅ϕ′ xuf )()( u y d d x u d d ⋅ 5. 初等函数在定义区间内可导 , 且导数仍为初等函数
x+1-V√x-1 例1y= 求y.(习题2-27(9)) Vx+1+/x-1 解：y= x-2Nx2-1 =x-Vx2-1 21 .y'=1- ·(2x)=1- 2Wx2-1 Vx2-1 例2 设y=2 arctan1++n1+2+l 41+x2-1 ,求y (补充题) (解答见下页) 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 求 解 : , 11 11 −++ −−+ = xx xx y y′ . 2 122 2 −− = xx ∵ y 1 2 xx −−= ∴ y′ = 1 12 1 2 − − x ⋅ x)2( 1 1 2 − −= x x 例 1 （习题 2 －2 7 （ 9 ） ） 例 2 设 , 求 11 11 ln 4 1 1arctan 2 1 2 2 2 −+ ++ = ++ x x y x y′. （补充题） （解答见下页）
3说ctna I,n0++l 4 Vi+x-1 求 1 1 解：y=21+N+x+ X 1 (2x+x3)W1+x2 2009年7月3日星期五 5 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 ,求 11 11 ln 4 1 1arctan 2 1 2 2 2 −+ ++ = ++ x x y x y′. 解 : y′ = 22 )1(1 1 2 1 ++ x 2 1 x x + ⋅ )11ln()11ln( 2 2 x x −+−++ ( 11 1 4 1 2 ++ + x 2 1 x x + ⋅ 11 1 2 −+ − x ) 2 1 x x + ⋅ ( 2 1 2 1 x x + = 2 2 1 + x ) 2 1 x − 3 2 1)2( 1 ++ xxx − = 例 2 设
3y=esin arctan 解：y=(emr.cosx22x))arctanx2-1 1 （72- 2x) -2x cosx2 esin xarctan1 esinx2 xvx2-1 关键：搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 求 解 : arctan ,1 sin 2 2 = ey x − x y ′ . ( arctan) 1 2 y′ = x − ( ) 2 sin x + e 2 sin x e 2 ⋅cos x ⋅2 x 2 1 x 2 1 2 1 x ⋅ − ⋅2 x = 2 x arctan 1 2 x − 2 sin x e 2 cos x 2 sin x e 1 1 2 − + xx 关键 : 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 例 3
二、高阶导数的定义(Definition of Higher Derivatives 引例：变速直线运动S=s(t) ds 速度 V= 即v=s 加速度a= dt 即 a=(s') 2009年7月3日星期五 7 目录 上页>下页返回○
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 二、高阶导数的定义 （Definition of Higher Derivatives ） s = s t)( 速度 即 v = s′ 加速度 , d d t s v = t v a d d = ) d d ( d d t s t = 即 a s = ( )′ ′ 引例：变速直线运动
定义若函数y=f(x)的导数y=∫'(x)可导，则称 2y,即 f'(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作y”或 dx2 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推， n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作 y”, y(4 或 d3y d”y dx3’ dx4 dx" 2009年7月3日星期五 8 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 若函数 y = f x)( 的导数 y′ = f ′ x)( 可导, 或 , d d 2 2 x y ( ) 即 y ′′ ′ ′ = y 或 2 2 d dd( ) d dd y y x x x = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n − 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , y′′′, ,)4( y )( , n " y 或 , d d 3 3 x y , d d 4 4 x y n n x y d d ", f ′ x)( 的导数为 f x)( 的二阶导数 , 记作 y′′ 定义 依次类推 , 分别记作 则称
三、一些常见函数的高阶导数的求法 1.直接法求高阶导数就是多次接连地求导数. 例1设y=ax+b,求y”, 解：y'=ay”=0 例2求y=e的n阶导数， 解：y'=e,y"=e,.ym）=e 2009年7月3日星期五 9 目录○ 上页 (下页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 三、一些常见函数的高阶导数的求法 例 1 设 求 y ax b = + , 解：y ay ′ ′′ = = , 0 1. 直接法 求高阶导数就是多次接连地求导数 . x y e = , x y e ′ = , x 解： y e ′′ = " 例 2 求 的n 阶导数. ( ) . n x y e = y′′
2.数学归纳法证明高阶导数 例3设y=ln(1+x),求y) 解y= 1 1 1+x (1+x)2 y”= 21 y=- 31 (1+x)3 (1+x)4 y0=(-1)n-1 (n≥1,01=1) (1+x)” 2009年7月3日星期五 10 目录 (上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 解 1 1 y x ′ = + 2 1 (1 ) y x ′′ = − + 3 2! (1 ) y x ′′′ = + (4) 4 3! (1 ) y x = − + "" ( ) 1 ( 1)! ( 1) ( 1, 0! 1) (1 ) n n n n y n x − − = − ≥ = + 2. 数学归纳法证明高阶导数 例 3 设 求 y x = ln(1 ), + ( ). n y