Malthus模型与Logistic模型 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控 制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 以下将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下 这方面的问题。一般：本乏体的分析可以通过一些简单模型的 复合离散化为连续，方 据生态系统的特征自行建立 相区 便研究 美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控 制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 以下将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下 这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的 复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立 相应的模型。 美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。 离散化为连续，方 便研究 Malthus模型与Logistic模型
模型1马尔萨斯(Malthus)模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口 净增长率r基本上是一常数，（r=bd为出生率，为死 亡率)，即：1dN N dt =r或 (3.5) (3.1)的解为：N(0=Neu- (3.6) 其中N。=N(t)为初始时刻t时的种群数。 马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。 令种群数量翻一番所需的时间为T,则有：2N。=N,e 故
模型1 马尔萨斯（Malthus）模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口 净增长率r 基本上是一常数，（r =b-d,b为出生率，d为死 亡率），即： 1 dN r N dt = dN rN dt 或 = （3.5） 0 ( ) 0 ( ) r t t N t N e − = （3.6） （3.1）的解为： 其中N0 =N(t 0 )为初始时刻t 0时的种群数。 马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。 令种群数量翻一番所需的时间为T，则有： 0 0 2 rT N N e = ln 2 T r 故 =
模型楂 簌历向的姨的像特红料6年[火？的期倪 戌丹何破数铺型邮蘑报结国童土细安 即辣海弹金 的每6年明 Malthus模型实际上口右在胜体兑 扇上抄 所以Malthus模型假设的人口 每34. 净增长率不可能始终保持常数， 它应当与人口数量有关。 级颈的增长 0.5 1950 2000 2050 2100 2150 2200 年
模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人 口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大 约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数 量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量 每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 1950 2000 2050 2100 2150 2200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 1011 t /年 N/人 马尔萨斯模型人口预测 模型预测 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将 以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个， 即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围， 而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 几何级数的增长 Malthus模型实际上只有在群体总 数不太大时才合理，到总数增大时， 生物群体的各成员之间由于有限的 生存空间，有限的自然资源及食物 等原因，就可能发生生存竞争等现 象。 所以Malthus模型假设的人口 净增长率不可能始终保持常数， 它应当与人口数量有关
模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：=) 从而右·dM (3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限 增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境 恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养 的种群数量的上界为K(近似地将K看成常数)，N表示当前的种群数量， K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9)指出，种群增长率与两者的乘 积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9)也 被称为统计筹算律的原因。 (3.8)可改写成： dN (3.8)被软为6ist心模型或生物总数增恨的统计筹算律，是由荷兰数学生 物学家弗赫斯特(Verhulst)首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数 量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项
模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有： ( ) dN r N N dt = （3.7） r(N)是未知函数，但根 据实际背景，它无法用 拟合方法来求 。 为了得出一个有实际意义的 模型，我们不妨采用一下工 程师原则。工程师们在建立 实际问题的数学模型时，总 是采用尽可能简单的方法。 r(N)最简单的形式是常数，此 时得到的就是马尔萨斯模型。 对马尔萨斯模型的最简单的改 进就是引进一次项（竞争项） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程： ( ) dN r aN N dt = − (1 ) dN N r N dt K 或 = − （3.8） （3.8）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生 物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数 量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。 （3.8）可改写成： ( ) dN k K N N dt = − （3.9） (3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限 增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境 恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养 的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量， K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘 积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也 被称为统计筹算律的原因
对（3.9)分离变量： dN=kKdt 两边积分并整理得： N- K 1+Ce版 令N(O)=N,求得： K-N。 N 故(3.9)的满足初始条件N(O)=N的解为： NoK N(t)= No+(K-No)e- (3.10) 易见： 1.5 N0=1.5 Logistic曲线 N(0)=No,lim N(t)=K K=1 N(t)的图形请看图3.5 0.5 N0=0.1 10 20 0 40 50 图3-5
图3-5 对（3.9）分离变量： 1 1 dN kKdt N K N + = − 两边积分并整理得： 1 kKt K N Ce− = + 令N(0)=N0，求得： 0 0 K N C N − = 故（3.9）的满足初始条件N(0)=N0的解为： 0 0 0 ( ) ( ) kKt N K N t N K N e− = + − （3.10） 易见： N(0)=N0 ， lim ( ) t N t K →+ = N(t)的图形请看图3.5
模型检验 用Logistici模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945 年克朗皮克(Crombic)做了一个人工饲养小谷虫的实验，数 学生物学家高斯（E·F·Gauss)也做了一个原生物草履虫实验， 实验结果都和Logisticl曲线十分吻合。 大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效 果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有 0.5c3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9% 的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量 375个，实验数据与=2.309,0.006157，N(0)=5的Logistic曲 线： 375 N(t)= 1+74e207几乎完全吻合，见图3.6 400 K=375 300 200 100 N0=5 图3-6
模型检验 用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945 年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数 学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验， 实验结果都和Logistic曲线十分吻合。 大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效 果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有 0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9% 的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量 375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲 线： 2.309 几乎完全吻合，见图3.6。 375 ( ) 1 74 N t t e − = + 图3-6
Malthus模型和Logistic模型的总结 ■ Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程(3.7) 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率为一常 数，（被称为该种群的内禀增长率)。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 ■用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原 因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两 个较为有趣的实例
Malthus模型和Logistic模型的总结 Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7） 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常 数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原 因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两 个较为有趣的实例
例5赝品的鉴定 历史背景： 他他要求都是科岸地的确品地速韩事在埃震馏☑维世确是子证阴增品是 这个肉题者直拖在监里地链沸米尔的能画内基门徒们帅的色-，当 应硕面接锐城学家范]国斜轮满自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他 拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证
历史背景: 例5 赝品的鉴定 在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同 谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945年 5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范·梅格伦（H·A·Vanmeegren），此人 曾将17世纪荷兰名画家扬·弗米尔（Jan Veermeer）的油画“捉奸”等卖给 纳粹德国戈林的中间人。可是，范·梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他从 未把“捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在埃牟 斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰画家） 的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是 一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间”，当 这项工作接近完成时，范·梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他 拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。 为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学 家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经有 过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历 经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹， 还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据， 范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监 狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。 然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门 徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为 真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回 答是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制 “在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他 的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以后， 他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到满意， 他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。 这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦（CarnegieMellon）大学的科学家们 基本上解决
原理与模型 测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的 放射性现象。 放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放 射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有 一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射 性与所存在的物质的原子数成正比。 用N()表示时间时存在的原子数，则 =-N 用来计算半衰期T: dt dN =-IN 常数是正的，称为该 dt 其解为：N()=Neu-b) 物质的衰变常数 W(4)=N 与负增长的Malthus模 许多物质的半衰期已被测 令 No 2 则有一样T=1-1,= 定，如碳14，其7=5568： 轴238，其T=45亿年
原理与模型 测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的 放射性现象。 放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放 射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有 一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射 性与所存在的物质的原子数成正比。 用N(t)表示时间t时存在的原子数,则： dN N dt = − 常数λ是正的，称为该 物质的衰变常数 用λ来计算半衰期T: 0 0 ( ) dN N dt N t N = − = 与负增长的Malthus模 型完全一样 其解为: 0 ( ) 0 ( ) t t N t N e− − = 0 1 2 N N 令 = 0 ln 2 T t t 则有: = − = 许多物质的半衰期已被测 定，如碳14，其T=5568； 轴238，其T=45亿年
与本问题相关的其他知识： (1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两干年以上。白 铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而 铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节) (2)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的轴。一方面，铀 系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断 地衰减，补充着其后继元素。从而，各种放射性物质（除轴以 外)在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资 料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（一 般含量极微)。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未 发现含量高于2一3%的。 (3)从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留下， 而其余物质则有0一95%被留在矿渣里，因而打破了原有的放 射性平衡。（注：这些有关物理、地质方面的知识在建模时可 向相应的专家请教。)
与本问题相关的其他知识: (1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白 铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而 铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节） (2)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀 系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断 地衰减，补充着其后继元素。从而，各种放射性物质（除铀以 外）在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资 料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（一 般含量极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未 发现含量高于2—3%的。 (3)从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留下， 而其余物质则有90—95%被留在矿渣里，因而打破了原有的放 射性平衡。（注：这些有关物理、地质方面的知识在建模时可 向相应的专家请教。）