两向量的向量积（补充内容） 实例 设0为一根杠杆L的支点，有一力疗作用 于这杠杆上P点处.力F与OP的夹角为0，力F 对支点O的力矩是一向量M,它的模 |M曰O9‖F1 =OP‖lF|sin0 M的方向垂直于OP与F所决 定的平面，指向符合右手系
| M | | OQ || F | = | OP || F |sin = M 的方向垂直于OP 与F 所决 定的平面, 指向符合右手系. 两向量的向量积（补充内容） L F P Q O 实例 设O为一根杠杆L的支点，有一力F 作用 于这杠杆上P点处．力F 与OP的夹角为 ，力F 对支点O的力矩是一向量 M ，它的模
定义向量a与b的向量积为c=a×b |c=a‖b|sin0(其中o为d与6的夹角) c的方向既垂直于，又垂直于万，指向符合 右手系 向量积也称为“叉积”、“外积 关于向量积的说明： (1d×i=0.（.0=0→sin0=0) (2)aWb←→d×b=0.(a≠0，b≠0)
关于向量积的说明： (1) 0. a a = ( = 0 sin = 0) a b (2) // 0. a b = ( 0, 0) a b 向量积也称为“叉积”、“外积 ”. 向量a 与b 的向量积为 c a b = | c | | a || b |sin = 定义 c 的方向既垂直于a ，又垂直于 b ，指向符合 右手系. (其中为a 与b 的夹角)
证（台）：a×b=0,1≠0,1b≠0， ∴.sin0=0,0=0,alWb (←).aWb.0=0或π.∴.sin0=0 |a×b=alb1sin0=0. 向量积符合下列运算规律： (1)axb=-b×a. (2)分配律：(a+b)×c=d×c+b×c. (3)若伪数(2d)×b=d×(2b)=(a×b)
向量积符合下列运算规律： （1） a b b a. = − （2）分配律： (a b) c a c b c. + = + （3）若 为数 ( a) b a ( b) (a b). = = () 0, a b = | a | 0, | b | 0, sin = 0, = 0, () sin = 0 | a b |=| a || b |sin = 0. 证 a b // a b // = 0或
设d=ai+a,j+aE,万=bi+bj+bk axB=(ai+a,j+a,k)x(bi+b,j+b.k) ixi=jxj=kxk=0, .i×j=k,j×k=i,kxi=j, j×i=-k,k×j=-i,i×k=-j. =(a,b:-a,by)i+(a,bx-a b.)j+(a b,-abs)k 向量积的坐标表达式
a a i a j a k, x y z = + + b bx i by j bzk 设 = + + a b = (a i a j a k) x y z + + (b i b j b k) x y z + + i j k, = 0, i i = j j = k k = k i j, j k i , = = j i k, = − i k j. k j i , = − = − a b a b i a b a b j a b a b k y z z y z x x z x y y x = ( − ) + ( − ) + ( − ) 向量积的坐标表达式
向量积还可借助于三阶行列式表示 i ax a×b= x b. by bx b b 由上式可推出 ab2-b42=0 aWb←←→axb=0=→ a b-ba,=0 a b,-bay =0
向量积还可借助于三阶行列式表示 x y z x y z b b b a a a i j k a b = k b b a a j b b a a i b b a a x y x y x z x z y z y z = − + 由上式可推出 a b // 0 a b = aybz − byaz = 0 axbz − bxaz = 0 axby − bxay = 0
←→ bs by b. bx、b、b,不能同时为零，但允许两个为零， 例如， 4=0=2→4=0,0，=0 00b. 补充 c=i×b |d×b|表示以i和b为邻边 b 的平行四边形的面积
z z y y x x b a b a b a = = bx、by、bz不能同时为零，但允许两个为零， 例如， z x y z b a a a = = 0 0 ax = 0, ay = 0 补充 | a b | 表示以a 和b 为邻边 的平行四边形的面积. a b c a b =
例求与d=3i-2j+4k,b=i+i-2k都垂直 的单位向量. 解 c=axb=a ay a =3-2 4=10j+5k, byby b. 11 -2 .|c=W102+52=5V5, 见教材P179例2 -±后=+
例 求与a i j k = 3 − 2 + 4 ，b i j k = + − 2 都垂直 的单位向量. 解 x y z x y z b b b a a a i j k c a b = = 1 1 2 3 2 4 − = − i j k 10 j 5k, = + | | 10 5 5 5, 2 2 c = + = | | 0 c c c = . 5 1 5 2 = j + k 见教材P179例2
习题课 一、主要内容 (一)向量代数 (二)平面及其方程
习 题 课 一、主要内容 （一）向量代数 （二）平面及其方程
1、向量的概念 向量的模、单位向量、零向量、 自由向量、相等向量、负向量、 平行向量、向径. 2、向量的线性运算 加、减、数乘
1、向量的概念 向量的模、单位向量、零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径. 2、向量的线性运算 加、减、数乘
3、向量的表示法 向量的分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标表示式： 向量的坐标： 模、方向余弦的坐标表示式 4、数量积、向量积 各种积的坐标表达式 两向量平行、垂直的条件
向量的坐标表示式： 向量的坐标： 模、方向余弦的坐标表示式 4、数量积、向量积 各种积的坐标表达式 两向量平行、垂直的条件 3、向量的表示法 向量的分解式： 在三个坐标轴上的分向量：