第一章 第七节无穷小的比穀 为什么要研究“无穷小的比较”？（老师解释） 本节内容提要： 一、无穷小的比较的定义 二、无穷小的比较的性质及应用 三、本节小结及思考练习 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第七节 无穷小的比较 第一章 为什么要研究 “无穷小的比较 ” ？（老师解释） 本节内容提要： 一、无穷小的比较的定义 二、无穷小的比较的性质及应用 三、本节小结及思考练习
一、无穷小的比较 定义设，B是自变量同一变化过程中的无穷小， 若1imP-0,则称B是比a高阶的无穷小，记作 O B=o(a) 若1m巳=o,则称B是比&低阶的无穷小； 多 若lim =C≠0，则称B是的同阶无穷小； 若lim B =C≠0，则称B是关于α的k阶无穷小； 若1imB=l,则称B是a的等价无穷小，记作a~B C 或B~a 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 lim C ≠= ,0 k α β = ,0limα β 若 则称 β 是比 α 高阶的无穷小 , β = o α)( ∞= ,limα β 若 若 若 = ,1limα β 若 β ~ α α ~ β lim C ≠= ,0 α β 或 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小 , 记作 定义 则称 β 是比 α 低阶的无穷小 ; 则称 β 是 α 的同阶无穷小 ; 则称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小 ; 则称 β 是 α 的等价无穷小 , 记作 一、无穷小的比较
例如，当x→0时 x3=0(6x2);sinx~x; tanx ~x arcsinx~x 又如， 1-cosx =lim 2sin2 lim 1 x-→0 x2 x→0 4(5) 2 故x→0时1-C0sx是关于x的二阶无穷小，且 1-cosxx2 2009年7月3日星期五 3 目录 、上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 = o )( ～ 3 x → 0 时 x 2 6 x sin; x x tan; x ～ x arcsin x ～ x 2 0 cos1 lim x x x − → 2 2 0 sin2 lim x x → = 又如 ， 2 2)(4 x 2 1 = 故 x → 0 时 − cos1 x 是关于 x 的二阶无穷小 , − cos1 x 2 2 1 ～ x 且 例如 , 当
例1证明：当x→0时，/1+x-1~二x n 证：1im+x-】 x>0 Lx a”-b”=(a-b)(a"+an-2b+.+bml) (1+x)”-1 lim x→0 ax[(1+x)y”-1+(1+x)”-2++1] =1 当x→0时，1+x-1~1x n 2009年7月3日星期五 4 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 x → 0 时 , + −11 n x ～ x n 1 证 : lim x → 0 + −11 n x x n 1 0 lim → = x ( ) −+ 11 n n x x n 1 [ ( ) 1 1 − + n n x ( ) 2 1 − ++ n n x + " + 1 ] = 1 ∴ x → 时当 ,0 + −11 n x ～ x n 1 − = nn ba − ba )( 1 ( n − a ban − 2 + ) − 1 ++ n " b 例1 证明: 当
二、等价无穷小的性质及应用 定理1a~B,一B=a+o(a) 证：a~B,一limB=l 一1im(g-1)=0,即limB-“=0 =B-a=o(a),即阝=a+o(a) 例如，x→0时，sinx~x,tanx~x,故 x→0时，sinx=x+o(x),tanx=x+o(x) 2009年7月3日星期五 5 目录 (上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 二、等价无穷小的性质及应用 定理 1 α ～ β β = α + o α)( 证 : α ～ =1limα β =− ,0)1lim(α β lim = 0 − α β α 即 β − α = o α ,)( 即 β = α + o α)( β 例如 , x → 时,0 ～xx ,sin ～xx ,tan 故 x → 时,0 sin = + xoxx ,)( tan = + xoxx )(
定理2（等价无穷小替换定理） 设aa,0~g,且m2存在，剥lm尽-img =lim B 应用举例：习题1-73(1) 定理3设α、B、y为同一自变量变化过程中的等价无 穷小，则 (1)a~x(自反性)；(2)若a~B,则B~a(对称性)； (3)若~B,B~y,则a~y(传递性) 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 α ~ α′, β ~ β′, 且 α β ′ ′ lim 存在 , 则 α β lim α β ′ ′ = lim 证 : α β lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ = β β lim α β ′ ′ α α′ β β ′ = lim α β ′ ′ lim α α′ lim α β ′ ′ = lim 定理2 （等价无穷小替换定理） 设 应用举例：习题 1 －7 3 （ 1 ） 定理 3 设 α 、 β 、 γ 为同一自变量变化过程中的等价无 穷小，则 (1) α ~ α (自反性 )； (2) 若 α ~ β ，则 β ~ α (对称性)； (3) 若 α ~ β ，β ~ γ ，则 α ~ γ （传递性）．
常用等价无穷小：当x→0时，sinx~x,tanx~x, 1 arcsinx~x,arctanxx,1-cosxx2x n (1+x)-1~ux,ln(1+x)~x,e-1~x 例2求lim sin 5x 0x+x3 解：lim sin 5x =lim 5x 5x 0xx3 →0x+x3 =li x0x(1+x2) 5 lim 、 x→01+x2 =5 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 常用等价无穷小 : 当 x → 时,0 sin x ～ x , tan x ～ x , arcsin x ～ x , arctan x ～ x , − cos1 x ～ , 2 2 1 x + −11 n x ～ 1 x, n (1 ) 1 x μ + − ～ μx , ln(1 ) + x ～ x , e 1 x − ～ x 3 0 sin 5 lim . x x → x x + 例2 求 解 : 3 0 sin 5 limx x → x x + 3 0 5 limx x → x x = + 2 0 lim (1 ) 5 x x → x x = + 2 0 5 limx → 1 x = + = 5
tan x-sinx 例3求lim x→0 x2 tanx 解X一 原式=lim tan x(1-cosx) x-→0 x2 tanx 2=1im x2 1 x-→0 2 特别注意： 等价无穷小代换只使用于因式乘积的整体代换， 而对于代数和中各无穷小不能分别替换 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 2 0 tan sin lim . x tan x x → x x − 例3 求 解: 3 0 lim x x x x − = → 原式 2 0 (1 co li t n t a ) an m s x x x x → x − = 2 1 = 2 0 1 2 2 limx x x → 原式 = 等价无穷小代换只使用于因式乘积的整体代换， 而对于代数和中各无穷小不能分别替换 . 特别注意：
例4求lim V1+tanx-√1-tanx x>0 e-1 解 当x→0时，e”-1~x,tanx~x,所以 V1+tanx-√1-tanx lim x→0 e'-1 (1+tan x)-(1-tanx) lim 0 (e*-1)(1+tanx+1-tanx 2tanx lim →0 x(1+tanx+v1-tanx =lim 2tan x.lim xo√+tanx+V1-tanx =2×=1 x→0 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 0 1 tan 1 tan lim e 1 x x x x → + −− − x → 0 e 1~ x − x tan ~ x x 0 1 tan 1 tan lim e 1 x x x x → + −− − ( ) 0 (1 tan ) (1 tan ) ( 1 1 tan 1 tan im e ) l x x x x x x → − + + +− = − − 例 4 求 解 当 时， ， ，所以 ( ) 0 2 tan 1 tan lim 1 tan x x x x x → + +− = 0 0 2 tan 1 lim lim 1 tan 1 tan x x x x x x → → = ⋅ + +− 1 2 1. 2 = × =
例5求lim 3x+sin2 x x-→0tan2x-x3 解：当x→0时，3x+sin2x~3x,tan2x-x3~2x, 所以， 3x+sinx x-0 tan2x-x3 lim 3x3 02x2 事实上，我们有以下补充规则（书上没有的）： 设对同一变化过程，B为无穷小，由等价无穷小的 性质，可得简化某些极限运算的下述规则. (1)和差取大规则：若B=o(),则士B~ 、 例如，li sinx =lim x=1 x0x3+3x x→03x 3 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 2 3 0 3 sin lim . x tan 2 x x → x x + − 解 : 例5 求 当 x → 0 时， 2 3 sin 3 , x xx + ∼ 3 tan 2 2 , xx x − ∼ 所以， 2 3 0 3 sin limx tan 2 x x → x x + − 0 3 limx 2 x → x = 3 2 = 事实上， 我们有以下补充规则（书上没有的）： 设对同一变化过程 , α , β 为无穷小 , 由等价无穷小的 性质, 可得简化某些极限运算的下述规则. （ 1） 和差取大规则: 若 β = o( α) , 例如 , xx x x 3 sin lim 3 → 0 + x x x 3 lim → 0 = 3 1 = 则 α ± β ~ α