微分方程第二次习题课 一、两类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法一降阶法 y fx)一 dx2 逐次积分求解 dy d2y 令p(x)= dx dr2 dp=f(x.p) dx d2y 令p0川 dy ,dp-f(y.p)
微分方程第二次习题课 一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法 ( ) d d 2 2 f x x y • = ) d d ( , d d 2 2 x y f x x y • = 令 x y p x d d ( ) = ( , ) d d f x p x p = ) d d ( , d d 2 2 x y f y x y • = 令 x y p y d d ( ) = 逐次积分求解
2.二阶线性微分方程的解法 齐次 常系数情形 代数法 非齐次 y"+py'+qy=f(x)y=Y(x)+y*(x) (1)f(x)=P(x)e y*=x2m(x)ex(k=0,1,2) (2)f(x)=e*[P(x)cos@x+P(x)sin@x] =xex [e(x)cos ax+R (x)sin cox] (k=0,1)m=max{n,1}
2. 二阶线性微分方程的解法 • 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 y py qy f x + + = ( ) y = Y(x) + y *(x) ( ) ( ) x m f x P x e = * ( ) ( 0, 1, 2) k x m y x Q x e k = = ( ) ( )cos ( )sin x l n f x e P x x P x x （2） = + 型 （1） * ( )cos ( )sin k x m m y x e Q x x R x x = +
3.一阶差分微分方程的解法 综合练习十四、五 yi-ay,=b'P (t) y,=Ca+y,→ b'Qnm(t)b≠a 片=b'0④ b=a 例1求以y=C1ex+C2e2x 为通解的微分方程. 提示：由通解式可知特征方程的根为片=1，乃=2， 故特征方程为(r-1)(r-2)=0,即2-3r+2=0 因此微分方程为y”-3y'+2y=0
3. 一阶差分微分方程的解法 1 ( ) t t t m y ay b P t + − = t t t y Ca y = + ( ) ( ) t m t t m b Q t b a y tb Q t b a = = 例1 求以 为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 综合练习十 四、五
例2求下列微分方程的通解 ()yy”-y2-1=0,(2)y+2y+5y=sin2x. 提示：(1)令y'=p(y),则方程变为 -p2-1=0,即 dy yp dy 1+p2 y (2)特征根：1,2=-1±2i, 思考 若(2)中非齐次项改为snx,特解设法有何变化？ 提示：sin2x=1co2x,故*=Ac0s2x+Bsin2x+D 2
例2 求下列微分方程的通解 2 (1) 1 0, y y y − − = (2) 2 5 sin 2 . y y y x + + = 提示: (1) 令 则方程变为 1 0 , d d 2 − p − = y p y p （2）特征根: 齐次方程通解: ( cos 2 sin 2 ) 1 2 Y e C x C x x = + − 令非齐次方程特解为 ( cos 2 sin 2 ) 1 2 y e C x C x x = + − 思 考 若 (2) 中非齐次项改为 提示: 故 y* = Acos 2x + Bsin 2x + D 特解设法有何变化 ?
例3.设f(x)二阶导数连续，且满足方程 f(x)=sinx-S(x-t)f(t)dt 求f(x). 提示：fx)=sinx-x0f)dt+0tf)dt,则 f(x)=cosx-Jof(t)dt-xf(x)+xf(x) f"(x)=-sinx-f(x) 问题化为解初值问题： ∫f"(,+fx)=-sinx f(0)=0,f'(0)=1 最后求得 f(x)=sinx+cosx 2 2
例3. 且满足方程 = − − x f x x x t f t dt 0 ( ) sin ( ) ( ) 求 f (x). 提示: ( ) sin ( ) ( ) , 0 0 = − + x x f x x x f t dt t f t dt 则 f (x) = cos x f (x) = −sin x − f (x) − x f t dt 0 ( ) − x f (x) + x f (x) 问题化为解初值问题: f (x) + f (x) = −sin x f (0) = 0 , f (0) =1 最后求得
思考：设o'(x)=e*+Vx0p(Vxu)d4,p(0)=0, 如何求p(x)? 提示：对积分换元，令t=√xu,则有 p()=e*+∫0p)di p"(x)=e'+p(x) 「p"(r)-p()=ex 解初值问题： p(0)=0,p'(0)=1 答案：p)=4e产(2x+)4e
思考: 设 ( ) ( )d , (0) 0, 0 = + = x x x e x x u u 提示: 对积分换元 , 令 t = x u , 则有 解初值问题: 答案:
