§6.5曲面及其方程二次曲面 一、曲面方程的概念 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义： 如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有下述关系： (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程； (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程， 而曲面S就叫做方程的图形
§6.5 曲面及其方程 二次曲面 一、曲面方程的概念 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面S 与三元方程F(x, y,z) = 0有下述关系： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F( x, y,z) = 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
↑z F(x,y,2)=0 S
S x y z o F x y z ( , , ) 0 =
1.球面 建立球心在点M(xo,yo,) 半径为R的球面方程。 解讠 设M(x,y,z)是球面上任一点， y 根据题意有|MM,=R (x-x}+(Gy-}+a-z}=R 所求方程为(x-K)2+(y-)2+(a-z》=R2 特殊地：球心在原点时方程为2+y2+z2=R2
M0 M R x o z y 1. 球面 建立球心在点 ( , , ) M0 x0 y0 z0 半径为R 的球面方程。 解 设M(x, y,z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 |= R (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R
例1方程x2+y2+z2-2x+4y=0 表示怎样的曲面？ 例2已知A(1,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的 垂直平分面的方程· 解 设M(x,y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有|MA=MB, V(x-1+(0y-2}+(a-3 =V(x-22+(y+12+(a-4)2, 化简得所求方程2x-6y+2z-7=0
例1 方程 2 4 0 2 2 2 x + y + z − x + y = 表示怎样的曲面？ 设M(x, y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA|=| MB |, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x −1 + y − 2 + z − 3 ( 2) ( 1) ( 4) , 2 2 2 = x − + y + + z − 化简得所求方程 2x − 6y + 2z − 7 = 0. 解 例 2 已知 A(1,2,3)，B(2,−1,4) ，求线段 AB的 垂直平分面的方程
2.旋转曲面 一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一 周所生成的曲面叫做旋转曲面，定直线叫做旋转曲面 的轴。取定直线为z轴，平面曲线C在yOz平面上，则 C的方程为； f(y,z)=0 x=0 将曲线C绕z轴旋转一周，就得到了一个以z轴为轴 的旋转曲面，以下建立其方程
2. 旋转曲面 一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一 周所生成的曲面叫做旋转曲面，定直线叫做旋转曲面 的轴。取定直线为z轴，平面曲线C在 平面上，则 C的方程为; yOz ( , ) 0 0 f y z x = = 将曲线C绕z轴旋转一周，就得到了一个以z轴为轴 的旋转曲面，以下建立其方程
旋转过程中的特征： M1(0,y1,z1) 如图设M(x,y,z), M \f(y,z)=0 (1)7=z1 y (2)点M到业k轴的距离 d=vx2+y2=yl 将z=乙1，y1=±Vx2+y2代入f(y1,乙1)=0 得方程f仕x2+y2,z=0, 这就是所求旋转曲面的方程
x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z 设 M(x, y,z), M 1 (1) z = z （2）点M 到z 轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = d ( , ) 0, 2 2 得方程 f x + y z = 这就是所求旋转曲面的方程
显然，在曲线C的方程fy,z)=0中将y改为 y=±Vx2+y2 即得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程。 同理，曲线C绕y轴旋转所生成的旋转曲面的方程 为： fy,±√x2+z2)=0 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将 曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量 的平方和的正负平方根
平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将 曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量 的平方和的正负平方根。 显然，在曲线C 的方程 f ( y,z) = 0 中将 y 改为 2 2 y = x + y 即得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程。 ( , ) 0 2 2 f y x + z = 同理，曲线C绕y轴旋转所生成的旋转曲面的方程 为：
例3直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的 顶点，两直线的夹角(0<a<?)叫圆锥面的半顶 角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶 角为a的圆锥面方程. 解 y0z面上直线方程为 M1(0,y1,1) ycota 圆锥面方程： z=±x2+y2 cota M(x,y,) 或z2=a2(x2+y (a=cota）
x o z y 解 yoz面上直线方程为 z = y cot (0, , ) 1 1 1 M y z M(x, y,z) 圆锥面方程: cot 2 2 z = x + y o x z y 例3 直线L 绕另一条与L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 顶点 ，两直线的夹角 叫圆锥面的半顶 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z轴，半顶 角为 的圆锥面方程． (0 ) 2 或 ( ) 2 2 2 2 z a x y a = + = ( cot )
例4将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程. (1)双曲线 。之=1分别绕x轴和z轴： 绕轴旋转 2+z2 =1 】 旋转双曲面 绕z轴旋转 2
例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程． 绕x轴旋转 绕z轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y 旋 转 双 曲 面 (1)双曲线 分别绕x轴和 z轴； 2 2 2 2 1 x z a c − =
V (2)椭圆 =1 绕y轴和z轴； a x=0 绕y轴旋转 22 2+z2 =1 绕z轴旋转 x2+y2 =1 旋转椭球面 (3)抛物线 [y2=2pz 绕z轴； x=0 x2+y2=2px 旋转抛物面
绕y轴旋转 绕z轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + + c x z a y 1 2 2 2 2 2 + = + c z a x y 旋 转 椭 球 面 （3）抛物线 = = 0 2 2 x y pz 绕z轴； x y 2 pz 2 2 + = 旋转抛物面 （2）椭圆 绕y轴和z轴； 2 2 2 2 1 0 y z a c x + = =