第一章 第三节函数的极限 (Limits of Functions) 在前一节我们讨论了数列的极限，本节主要介 绍一般函数的极限以及其性质， 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 2009年7月3日星期五 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第三节 函数的极限 (Limits of Functions) 第一章 在前一节我们讨论了数列的极限，本节主要介 绍一般函数的极限以及其性质 ． 二、函数极限的性质 一、函数极限的定义
一、函数极限的定义 如果函数f(x)在自变量的某个变化过程中，对应的函数值 无限接近于某个确定的数A,那么这个确定的数A就叫做在这 一变化过程中函数的极限. 由于自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同 的形式： 数列极限可看作函数f(n)当n→o时的极限，这里自变 量的变化过程是n→o(n∈W).注意：这里的n是离散变化的. 下面主要研究当自变量x趋于无穷大或趋于有限值时， 函数f(x)的极限.注意：这里的x是连续变化的. 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、函数极限的定义 如果函数 f x( ) 在自变量的某个变化过程中， 对应的函数值 无限接近于某个确定的数 A ， 那么这个确定的数 A 就叫做在这 一变化过程中函数的极限． 由于自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同 的形式． 数列极限可看作函数 f ( ) n 当 n → ∞ 时的极限， 这里自变 量的变化过程是n nN →∞ ∈ ( )． 下面主要研究当自变量 x 趋于无穷大或趋于有限值时， 函数 f ( ) x 的极限． 注意：这里的 n 是离散变化的． 注意：这里的 x 是连续变化的．
1.自变量趋于无穷大时函数的极限 (Limits Involving Infinity) 观察函数y=sinx当x→∞时的变化趋势 通过观察： sinx 当|x无限增大时， ,fm)=snx无限接近于0. 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 观察函数 sin x y x = 当 x → ∞ 时的变化趋势 1.自变量趋于无穷大时函数的极限 (Limits Involving Infinity) 通过观察： 当| | x 无限增大时， sin ( ) x f x x = 无限接近于 0 ．
问题：如何用数学语言刻画函数“无限接近”？ 我们用f(x)-AX 表示x趋于无穷大的过程 定义1设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义.如果 存在常数A,对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在 正数X,使得适合不等式x>X的一切x所对应的函数值f(x) 都满足不等式 f(x)-AA(x→o). 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 问题： 如何用数学语言刻画函数 “无限接近 ” ？ 我们用 fx A ( ) − 表示 x 趋于无穷大的过程． 定义 1 设函数 f ( ) x 当| | x 大于某一正数时有定义． 如果 存在常数 A ，对于任意给定的正数 ε （无论它多么小）， 总存在 正数 X ， 使得适合不等式| | x X > 的一切 x 所对应的函数值 f ( ) x 都满足不等式 fx A ( ) − < ε ， 那么常数 A 就叫做函数 f ( ) x 当 x 趋于无穷大时的极限， 记作 lim ( ) x f x A → ∞ = 或 f ( ) x A → （ x → ∞ ）．
定义1可简单地表达为： lim f(x)=4 X->00 =廿6>0,3X>0,当x>X时，有f(x)-AXA-E<f(x)<A+ε 几何解释： y=f(x) 直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 定义 1可简单地表达为： lim ( ) x f x A →∞ = ⇔ ∃ X > ,0 当 > 有时 − AxfXx XxXx A − ε ,0 − X X A + ε A − ε o x y y = f ( x ) A 几何解释 : 补充定义 如果li m ( ) x f x A →∞ = ， 那么直线 y A = 是函数 y f = ( ) x 的图形的水平渐进线. 直线 y = A 为曲线 y = f ( x ) 的水平渐近线
两种特殊情况： limf(x)=A=廿&>0,3X>0,当x>X时，有 X→十0 f(x)-A0,3X>0,当x<-X时，有 →-00 f(x)-A<6 几何意义：直线y=A仍是曲线y=fx)的渐近线. 创，u-在8=， +2 都有水平渐近线y=0, 又如，f(x)=1-2x,g(x)=1+2 2 都有水平渐近线y=1. 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 x 1 1 − x 1 o y x x xg x xf − = = 1 1 )(, 1 )( 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x ) 的渐近线 . f Ax x = +∞→ )(lim ∀ ε > ,0 ∃ X > ,0 当 x > X 时, 有 )( − Axf ,0 ∃ X > ,0 当 x < − X 时, 有 )( − Axf < ε 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 y = ;0 x x xf −= xg += 21)(,21)( − 都有水平渐近线 y = .1 又如， o x y x + 21 − x − 21 两种特殊情况 :
sinx 例1证明 lim inx=0. X→00 X 取X当x>X时，就有四-0 sinx 因此 lim =0 X-→o0X 注：y=0是y= Sinx 的水平渐近线。 X 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 sin lim 0. x x →∞ x = 证 : sin 0 x x − sin x x = 例1 证明 1 | | x ≤ 取 , 1 ε X = 当 > Xx 时, sin 0 x x − ,0 欲使 sin 0 , x x − 注 : y = 0 是 sin x y x = 的水平渐近线
2.自变量趋于有限值时函数的极限 (Limits Involving Finites) 观系品款=-)当→1时的安化地 y 通过观察，我们可以看到， 2 虽然函数在点x=1处没有定义， 但当x→1时，f(x)与2无限接近 2 2009年7月3日星期五 P 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 2.自变量趋于有限值时函数的极限 . (Limits Involving Finites) 观察函数 2 1 ( ) ( 1) 1 x y fx x x − = = ≠ − 当 x → 1时的变化趋势 x y O 1 1 2 − 2 − 1 2 通过观察， 我们可以看到， 虽然函数在点 x = 1处没有定义， 但当 x → 1时， f ( ) x 与 2 无限接近．
(1)双侧极限(Two-sided Limits) 我们用|f(x)-AK表示f(x)与A无限接近. 0<x-<￡表示x→x的过程， δ δ Xo x+6 在点x。的去心6邻域中，邻域半径6体现了x与x,的接近程度 2009年7月3日星期五 0 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 （ 1） 双侧极限 (Two-sided Limits) 我们用| () | fx A − < ε 表示 f ( ) x 与 A 无限接近． 0 0 <− < x x ε 表示 0 x x → 的过程, 0 x 0 x x − δ 0 x + δ δ δ 在点 0 x 的去心 δ 邻域中，邻域半径 δ 体现了 x 与 0 x 的接近程度
定义2设函数f(x)在点x,的某一去心邻域内有定 义.如果存在常数A,对于任意给定的正数（不论它多么 小)，总存在正数6，使得对于适合不等式00,36>0，当x∈U(x0,6)时， x→X0 有f(x)-A<ε 注2定义2也称为“8-6”定义，8是任意给定的正数， 当e给定时，6与ε有关. 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 定义 2 设函数 f x( ) 在点 0 x 的某一去心邻域内有定 义．如果存在常数 A ，对于任意给定的正数 ε (不论它多么 小), 总存在正数 δ ,使得对于适合不等式 0 0| | ,0 ∃ δ > ,0 当 ),(xx 0 δ D ∈ ∪ 时, 有 )( − Axf < ε 注 2 定义 2 也称为 “ ε - δ ”定义， ε 是任意给定的正数， 当 ε 给定时， δ 与 ε 有关．