第三章微分中值定理与导数的定用 第一节 微分中值定理 第二节泰勒(Taylor)公式 第三节 洛必达法则 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大值、最小值 第六节 函数图形的描绘 第七节曲率 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 第三章 微分中值定理与导数的应用 第三节 洛必达法则 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大值、最小值 第六节 函数图形的描绘 第七节 曲率 第二节 泰勒 ( Taylor )公式 第一节 微分中值定理
第三章 第一节 微分中值定理 (The Mean Value Theorem) 一、函数的极值 罗尔中值定理 二、微分中值定理〈拉格朗日中值定理 柯西中值定理 三、小结与思考题 2009年7月3日星期五 3 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 第一节 微分中值定理 第三章 二、微分中值定理 三、小结与思考题 （The Mean Value Theorem ） 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 一、函数的极值
一、函数的极值(Extremums of Function) y=f(x) 01x2 0 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 一、函数的极值 （Extremums of Function ） o x y a b y = f x)( x1 x2 x3 x 4 x5 x 6 o x y o x y 0 x 0 x
定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x是(a,b) 内的一，点，如果存在x。的一个邻域U(x),对于U(x)内 的任何点x,有 f(x)≤f(x)或f(x)≥f(x), 则称f(x)是函数f(x)的一个极大值（或极小值），点x 是f(x)的一个极大值点（或极小值点），函数的极大值、 极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点。 注意：函数的极大值、极小值与最大值、最小值的区 别.函数的极值是对一点的邻域来说的，是局部性概念； 而最值（最大值、最小值的简称)是整体性概念. 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 定义 设函数 f ( ) x 在区间(,) a b 内有定义， 0 x 是(,) a b 内的一点，如果存在 0 x 的一个邻域 0 U x( )，对于 0 U x( ) 内 的任何点 x ，有 0 fx fx () ( ) ≤ 或 0 fx fx () ( ) ≥ , 则称 0 f x( ) 是函数 f x( ) 的一个极大值（或极小值），点 0 x 是 f x( ) 的一个极大值点（或极小值点 ），函数的极大值、 极小值统称为极值 .极大值点与极小值点统称为极值点 ． 注意：函数的极大值、极小值与最大值、最小值的区 别．函数的极值是对一点的邻域来说的，是局部性概念 ； 而最值（最大值、最小值的简称）是整体性概念．
费马引理(Fermat Lemma) y=x)在U(x)有定义，→f,)=0 马，P.d 且f(x)≤f(xo),∫'(x)存在 (或≥) 证：设Vxo+△x∈U(xo)f(x+△x)≤f(xo), f(x)lim f(o+Ax)-f(xo) 0X0X △x>0 △x '(xo)≥0（△x→0） f(xo)≤0（△x→0+） =+f()=0 证毕 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 费马引理 （Fermat Lemma ） ,)( 在 ∪ x 0 有定义 且 )( 0 f x ≤ f x 0 ,)()( f ′ x 存在 或 ≥)( 0)( f ′ x 0 = 证 : 设 ,)()(,)( 0 00 0 ∀ Δ+ ∈ ∪ xxx f + Δxx ≤ f x )( 0 则 f ′ x x f xx f x x Δ + Δ − = →Δ )()( lim 0 0 0 = )0( →Δ − f− ′ x 0 )( x )0( →Δ + f+ ′ x 0 )( x ≥ 0 ≤ 0 0)( f ′ x 0 = x y o 0 x y = f x)( 证毕
二、微分中值定理 1.罗尔(Rolle)定理 y=(x)满足： =f(x) (I)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 (3)f(u)=f(b) →在(a,b)内至少存在一，点5，使'(5)=0. 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m. 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 二、微分中值定理 1. 罗尔（Rolle）定理 y = f x)( 满足 : (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) ξ , 使 f ′( ) 0. ξ = x y o a b = xfy )( ξ 证 : 因 在 baxf ],[)( 上连续，故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 在( a , b ) 内至少存在一点
若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b],因此V5∈(a,b), f'(5)=0. 若M>m,则M和m中至少有一个与端，点值不等， 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5∈(a,b),使 f(5)=M,则由费马引理得f'(5)=0. 注意：定理条件条件不全具备，结论不一定成立 例如， a- 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 若 M = m , 则 f x ≡ M ∈ bax ,],[,)( 因此 ∀ ξ ∈( , ), a b f ′( ) 0. ξ = 若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等 , 不妨设 M ≠ f a ,)( 则至少存在一点 ξ ∈ ba ,),( 使 f ξ = M ,)( 则由费马引理得 f ′( ) 0. ξ = 注意 : 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如 , ⎩ ⎨ ⎧ = ≤ < = 1,0 10, )( x xx xf 1 x y o
f(x)=x f(x)=x x∈[-1,1] x∈[0,1] 例1设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)=0, 证明至少存在一点5∈(0,1)，使 5f'(5)+f(5)=0. 提示：5f'(5)+f(5)=(f(x)川- 2009年7月3日星期五 0 目录 上页 (下页 、返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 ]1,0[ )( ∈ = x f xx ]1,1[ )( −∈ = x f xx 1 x y − 1 o 1 x y o 例 1 设 f ( ) x 在[0,1]上连续， 在(0,1) 内可导， 且 f (1) 0, = 证明至少存在一点 ξ ∈ (0,1), 使 ξ f f ′( ) ( ) 0. ξ ξ + = 提示： ( ) ( ) ( ( )) x f f xf x ξ ξξ ξ = ′ ′ + =
例2证明方程x3-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根.（补充题） 证：1)存在性. 设f(x)=x3-5x+1,则f(x)在0,1]连续，且 f(0)=1,f(1)=-3.由介值定理知存在xo∈(0,1)，使 f(xo)=0,即方程有小于1的正根x0 2)唯一性. 假设另有x1∈(0,1)，x+xo,使f(x)=0,f(x)在以 x0,为端点的区间满足罗尔定理条件，在x0,X之间 至少存在一点5，使'(5)=0. 但f'(x)=5(x4-1)（下页）返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 015 5 xx =+− ,15)( 5 xxxf +−= f = f = − .3)1(,1)0( ,0)( f x 0 = ,)1,0( 1 01 ∈ ≠ xxx )1(5)( 4 ′ xxf −= < x ∈ ),1,0(,0 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f x)( 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 ,)1,0( 由介值定理知存在 x 0 ∈ 使 即方程有小于 1 的正根 . 0 x 2) 唯一性 . 假设另有 ,0)( 使 xf 1 = ∵ xf )( 在以 10 , xx 为端点的区间满足罗尔定理条件 , ∴ 在 , xx 10 之间 至少存在一点 ξ , 使 f ′ ξ = .0)( 但 矛盾 , 故假设不真 ! 设 例2 证明方程 （补充题）
2.拉格朗日(Lagrange)中值定理 y=f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 一至少存在一点5∈(a,b),使f)=-f@ b-a 证：问题转化为证f')f6)-fa=0 b-a 作辅助函数 o(x)=f(x)-f(b)-f(ax b-a 显然，(x)在【a,b]上连续，在(，b)内可导，且 (abf(a-afb)）=p(,由罗尔定理知至少存在一点 b-a 5∈(a,b),使0'(5)=0，即定理结论成立.证毕 2009年7月3日星期五 11 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 11 目录 上页 下页 返回 2. 拉格朗日（Lagrange）中值定理 ϕ ξ ′( ) x)( (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 y = f 至少存在一点 ba ,),( 满足 : (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 ξ ∈ 使 () () ( ) . f b f a f b a ξ − ′ = − ξ x y o a b = xfy )( 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 x)( 作辅助函数 显然 , ϕ 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导 , 且 证 : 问题转化为证 ϕ( ) x = f x)( f () () b fa x b a − − − ϕ( ) a 由罗尔定理知至少存在一点 ξ ∈ ba ,),( 使 ϕ′ ξ = ,0)( 即定理结论成立 . = ϕ( ), b ab b f aa f b − − = )()( 0 )()( )( = − − ′ − ab f b f a f ξ 证毕