第五章 第二节 微积分基本公式 (Fundamental Formula of the Calculus) 一、变速直线运动中 位置函数与速度函数的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼兹公式 2009年7月3日星期五 目录 、上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第二节 微积分基本公式 第五章 （Fundamental Formula of the Calculus ） 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、变速直线运动中 位置函数与速度函数的联系
一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t) 之间有关系： s'(t)=v(t) 物体在时间间隔[工，T,]内经过的路程为 0d1=2)-s） 这里s(t)是v(t)的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 在变速直线运动中, 已知位置函数 s t)( 与速度函数 v t)( 之间有关系 : s′ t = v t)()( 物体在时间间隔 ],[T T21 内经过的路程为 )()(d)( 12 2 1 TsTsttv T T −= ∫ 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 这里 是 tvts )()( 的原函数
二、积分上限的函数及其导数 定理1若f(x)∈C[a,b],则变上限函数 Φ()=Jf0)dt Φ(x) 是f(x)在[a,b]上的一个原函数. 证：x,x+h∈[a,b],则有 xg b x +-o）-f0d-f0a x+h h =f0M=f传x<<x+n .∵f(x)∈C[a,b] .Φ'(x)=lim D(x+h)-Φ()=1imf(5)=f(x) h-→0 h h→0 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 y = f x)( a b x o y Φ x)( x x + h ξ 二、积分上限的函数及其导数 f x ∈ C ba ,],[)( 则变上限函数 ∫ =Φ x a d)()( ttfx 证 : ∀ + ∈ bahxx ,],[, 则有 h Φ + Φ− xhx )()( 1 [ h = ( )d ( )d ] x h x a a f t t f t t + − ∫ ∫ ) 1 ( x h x f t dt h + = ∫ = f ξ )( ( x < ξ < x + h ) h x h x h )()( lim0 Φ + − Φ = → )(lim0 f ξ h → ∴ Φ′ x)( = = f x)( 定理1 若 在是 baxf ],[)( 上的一个原函数. ∵ f x ∈ C ba ],[)(
说明： 1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 2)变限积分求导： d0d-fdau-f1eoow r0ad&wfndi-oay] 例1（补充题）求lim x-→0 8 解：原式=-lime(←sin 0=1 x-→0 2x 2e 2009年7月3日星期五 4 、目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 变限积分求导 : ∫ b x ttf x d)( d d = − f x)( ∫ )( d)( d d x a ttf x ϕ = f ϕ ϕ′ xx )()]([ 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . ∫ )( )( d)( d d x x ttf x ϕ ψ ⎥⎦ ⎤ + ⎢⎣ ⎡ = ∫∫ )( )( d)( d)( d d x a a x ttfttf x ϕ ψ 0 lim x → te x t d 1 cos 2 ∫ − 说明 : 2 x 例 1（补充题） 求 0 0 )sin( 2 cos e x x −⋅ − 0 lim → 解 : 原式 = − x 2 x 2 e 1 =
例2已知F(x)=V+tdt,求F'(x). 提： J“fo0d=f几owpw) 例3已知F(x)=∫V+d,求F'(x). 提示： grodr-d[wmavm"fma] 2009年7月3日星期五 5 目录 (上页下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 例 2 已知 2 0 () 1 d x Fx tt = + ∫ ，求 F x ′( ) ． 提示： d ( ) ( )d d a x f t t x ϕ ∫ = f x [() ϕ ] ϕ′( x ) 例 3 已知 2 sin () 1 d x x Fx tt = + ∫ ，求 F′( ) x ． 提示： ∫ )( )( d)( d d x x ttf x ϕ ψ ⎥⎦ ⎤ + ⎢⎣ ⎡ = ∫∫ )( )( d)( d)( d d x a a x ttfttf x ϕ ψ
例4设f(x)在[0，+o)内连续，且f(x)>0,证明 -aoa0a 只要证 F'(x)>0 在(0，+∞)内为单调递增函数. 证rw-ud-fe到zf0a (f()a)2 _fx)小(x-0 f(D)dt f(x):(x-5)f⑤)x-0) >0 (dt)2 (f0d)2 (0<5<x) ∴.F(x)在(0，+0)内为单调增函数 2009年7月3日星期五 6 目录」 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 = ttftxf x d)()( 0 ∫ − xf 在设 + ∞ 内连续 且 xf > ,0)(,),0[)( 证明 F x)( = ttft x d)( 0 ∫ ttf x d)( 0 ∫ 在 + ∞),0( 内为单调递增函数 . 证 : F′ x)( = ( ) 2 0 d)( ttf x ∫ ttfxfx x d)()( 0 ∫ ( ) 2 0 d)( ttf x ∫ 0 ( ) ( ) x f x f t d t ∫ x − t)( > 0 ∴ xF ，（在 + ∞)0)( 内为单调增函数. 只要证 ′ xF > 0)( = ( ) 2 0 d)( ttf x ∫ f x)( ⋅( ) x f − ξ ) (ξ ( ) x − 0 < ξ < x)0( 例 4
三、牛顿一莱布尼兹公式 定理2设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原 函数，则∫f(x)dr=F(b)-F(a(牛顿-菜布尼滋公式) 证：根据定理1，∫f(x)dx是f(x)的一个原函数，故 F(x)=∫f(x)dr+C 令x=a,得C=F(a),因此∫f(x)dr=F(x)-F(a) 再令x=b,得 f)=Fb)-F(a)起件r(✉治=F()名 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 设 xF )( 是连续函数 在 baxf ],[)( 上的一个原 aFbFxxf )()(d)( b a −= ∫ 证 : 根据定理 1, 是 xfxxf )(d)( 的一个原函数, x a ∫ CxxfxF x a = + ∫ d)()( ax , ( 牛顿 - 莱布尼兹公式 ) 故 令 = 得 = aFC ,)( aFxFxxf )()(d)( x a −= ∫ bx , 因此 再令 = aFbFxxf )()(d)( b a −= ∫ 记作 得 [ xF )( ] a b = xF )( a b 定理2 函数 , 则
5(秋充)年1 V3 arctanx arctan3-arctan(-1) -1 -元 例6计算正弦曲线y=sinx在[0，π]上与x轴所围成 的面积 yy=sinx 解：A=0 sinxdx =-1-1]=2 π =-cOSx πx 例7计算∫2x-dr 13 2 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 . 1 3 d ∫ − 1 2 + x x 解 : x x x arctan 1 3 d 1 2 = + ∫ − 1 3 − = − − )1arctan(3arctan 3 π = π 12 7 ) = 4 ( π −− 例5 （ 补充题）计算 例6 计算正弦曲线 = xy 在 π ],0[sin 上与 x轴所围成 的面积 . 解 : ∫ = π 0 dsin xxA −= cos x 0 π = − −1[ − ]1 = 2 y o x y = sin x π 例 7 计算 3 2 x x 1d . − − ∫ 答案： 13 2
例8汽车以每小时36k的速度行驶，到某处需要减 速停车，设汽车以等加速度a=-5%刹车，问从开始刹 车到停车走了多少距离？ 解：设开始刹车时刻为t=0,则此时刻汽车速度 %=36(k)=(g0=10(g) 刹车后汽车减速行驶，其速度为 v(1)=vo+at =10-5t 当汽车停住时，v(t)=0,即10-5t=0,得t=2(S) 故在这段时间内汽车所走的距离为 s=0dt=a0-50d1=[l01-2]6=10m) 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 速停车, 2 s a = − 5 m 解 : 设开始刹车时刻为 t = ,0 则此时刻汽车速度 v 0 = )(10 s )( = m s m 3600 ×100036 = 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 v t = + av t 0 )( = − 510 t 当汽车停住时, v t = ,0)( 即 − t = ,0510 得 t = (s)2 故在这段时间内汽车所走的距离为 ∫ = 2 0 d)( ttvs ∫ −= 2 0 d)510( tt [ ] 2 2 5 10 −= tt = (m)10 0 2 )(36 h mk 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 例 8 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 车到停车走了多少距离?
内容小结 1.变限积分求导公式 2.微积分基本公式 设f(x)∈C[a,b],且F'(x)=f(x),则有 J"f(x)dx=f(5)(b-a)=F((b-a)=F(b)-F(a) 积分中值定理 微分中值定理 牛顿一莱布尼兹公式 课后练习 习题5-21（2)(4)； 2（偶数题)；3（2)；6；9；10 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 内容小结 1. 变限积分求导公式 设 f ∈ 且 ′ xFbaCx = f x ,)()(,],[)( 则有 2. 微积分基本公式 = ∫ xxf b a d)( 积分中值定理 = F′( ) ξ ( ) b a − = − aFbF )()( 微分中值定理 f (ξ ) ( b − a ) 牛顿 – 莱布尼兹公式 课后练习 习题 5 －2 1 （ 2）（ 4）； 2（偶数题）； 3 （ 2）； 6 ； 9 ；10