第七章 第四节多元复合品数的求导法则 (Derivation Rule of Multivariate Composite Functions) 一、多元复合函数的求导法则 二、全微分的形式不变性 三、小结与思考练习 2009年7月6日星期一 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第四节 多元复合函数的求导法则 第七章 (Derivation Rule of Multivariate Composite Functions) 一、多元复合函数的求导法则 二、全微分的形式不变性 三、小结与思考练习
复习引入 一元复合函数y=f(u),u=p(x) 求导法则 dydy du dx du dx 微分法则 dy=f(u)du=f(u)o'(x)dx 推广 多元复合函数的求导法则和微分法则 2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回 复习引入 一元复合函数 y = f = ϕ xuu )(),( 求导法则 x u u y x y d d d d d d ⋅= 微分法则 y = f ′ uu = f ′ ϕ′ d)()(d)(d xxu 多元复合函数的求导法则 和微分法则 推广
一、多元复合函数的求导法则 定理若函数u=p(t),v=(t)在点t可导，z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=f(p(t),y(t) 在，点t可导，且有链式法则 dz oz du oz dv dt Ou dt Ov dt u D 证：设t取增量△t,则相应中间变量 有增量△u,△V △z= u +2Ay+o(p)(p=y(w2+(A) 2009年7月6日星期一 3 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回 z = f ϕ t ψ t))(),(( 一、多元复合函数的求导法则 定理 若函数 = ϕ = ψ )(,)( ttvtu 可导在点 , z = f vu ),( 在点 vu ),( 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d ⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ = z 则复合函数 证 : 设 t 取增量△ t , v v z u u z z Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ =Δ ))()(( 22 + o ρ )( ρ Δ+Δ= vu 则相应中间变量 且有链式法则 vu t t 有增量△u ,△v
CzAu+0z△y+o(p）(p=(A02+(A2) △t Ou△ta△t△t 令△t→0，则有△u→0，△v→0， △u 、du △y.dv △t →dt △t →d o(p)_o(p) △t (△t<0时，根式前加_”号) dz Oz du oz dy (全导数公式) dt Ou dt Ov dt 2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回 令 t →Δ ,0 则有 Δ → Δvu → ,0,0 t o Δ ρ )( ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z Δ Δ ∂ ∂ + Δ Δ ∂ ∂ = Δ Δ t o Δ + ρ )( z vu t t ))()(( 22 ρ Δ+Δ= vu )( ρ o ρ = )()( 2 2 t v t u Δ Δ + Δ Δ → 0 ( △ t ＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d → Δ Δ → Δ Δ t v v z t u u z t z d d d d d d ⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ =
说明：若定理中f(,v)在点(u,v)偏导数连续减弱为 偏导数存在，则定理结论不一定成立. u-v 例如：=fu,y=， 2+22+20 0, u2+v2=0 u=t,v=t ∂z 易知： 0z 00-0,0)=0,80.0=10,0)=0 但复合函数z=f(1,)= 2 dz 1 Oz diu z dy =0.1+0.1=0 dt 2 ou dt av dt 2009年7月6日星期一 5 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 5 目录 上页 下页 返回 若定理中 在点 vuvuf ),(),( 例如 : z = f vu ),( = u = t , v = t 易知: ,0)0,0( )0,0( == ∂ ∂ uf u z 但复合函数 z = f t t ),( 2 1 d d = t z ≠ t v v z t u u z d d d d ⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ = 01010 0)0,0( )0,0( == ∂ ∂ vf v z 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t = , 0 22 22 2 ≠+ + vu vu vu ,0 0 22 + vu = 则定理结论不一定成立. 说明:
推广：设下面所涉及的函数都可微. 1)中间变量多于两个的情形.例如，z=f(u,V,w), u=p(t),v=V(t),w=@(t) dz oz du oz dy oz dw dt ou dt ov dt ow dt ='0'+fw'+f3o' 2)中间变量是多元函数的情形.例如， z=f(u,v),u=p(x,y),v=v(x,y) ez 0=.ou0.0v-+iwi 8x Ou ax Ov 0x OzOz ou Oz Ov ay ou ay av ay =fo2+SV2 2009年7月6日星期一 6 目录 (上页今 下页 、返回
2009年7月6日星期一 6 目录 上页 下页 返回 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f wvu ,),( 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = ′ϕ′+ ′ψ′+ ′ω′ 321f f f 2) 中间变量是多元函数的情形 .例如 , z = f = ϕ xuvu y = ψ xv y),(,),(,),( = ∂ ∂ x z ϕ ψ1211 = f ′ ′ + f ′ ′ ϕ ψ 2221 = = f ′ ′ + f ′ ′ ∂ ∂ y z z z wvu vu yxyx t t t t u u z d d ⋅ ∂ ∂ t v v z d d ⋅ ∂ ∂ + t w w z d d ⋅ ∂ ∂ + x u u z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ x v v z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + y u u z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ y v v z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + u ϕ t v == ψ t w = ω t)(,)(,)( 推广 :
又如，2=f(x,),v=w(x,y) 当它们都具有可微条件时，有 an of ov Ox 0x Ov Ox =f+川 0z of.ov 0y av dy =22 注意：这里 与 不同， 8x8x of 表示固定v对x求导 8x 表示固定y对x求导， 8x 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导 2009年7月6日星期一 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 7 目录 上页 下页 返回 z = f = ψ xvvx y),(,),( 当它们都具有可微条件时, 有 x z ∂ ∂ ψ121 = f ′ + f ′ ′ y z ∂ ∂ ψ 22 = f ′ ′ z = f x x y 注意 : 这里 x z ∂ ∂ x f ∂ ∂ x z ∂ ∂ 表示固定 y 对 x 求导, x f ∂ ∂ 表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f ∂ ∂ = x v v f ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + y v v f ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = 与 不同, v 又如
例1设z=e"siny,u=xy,v=x+y,求，0 Ox'8y 解： OzOz Ou 0z Ov (课本例2) 8x Ou ax Ov Ox =e“sinv.y+e“cosv.l =ex[y.sin(x+y)+cos(x+y)] Oz Oz ou Oz Ov ay ou dy ov∂y =e“sinv·x+e“cosv.l =e*[x.sin(x+y)+cos(x+y)] 2009年7月6日星期一 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 8 目录 上页 下页 返回 yxvyxuvez ,sin u = +== ., y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ 求 解 : x z ∂ ∂ veu = sin yxyxye )]cos()sin([yx +++⋅= y z ∂ ∂ yxyxxe )]cos()sin([yx +++⋅= veu = sin x u u z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = x v v z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + veu + cos y u u z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = y v v z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + veu + cos ⋅ y ⋅1 ⋅ x ⋅1 z vu x y x y 例1 设 （课本 例 2 ）
例2u=fx,y,)=e2+产+2，=rsny求 Ox'8y ou ofof oz 解：0x0=0x (课本例3) =2xe+2+2+2zer+y+: .2xsiny =2x(1+2x2sin2y)++xsiny ou of of.0z dydy dz dy =2e2+y+2+2zer2+2+ ·xc0Sy =2(y+xsin ycosy)eiy 2009年7月6日星期一 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 9 目录 上页 下页 返回 ),( ,sin, 2 222 yxzezyxfu zyx = = = ++ y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ 求 , 解 : x u ∂ ∂ 222 2 zyx ex ++ = yxyx eyxx 2422 22 sin )sin21(2 ++ += yx z x y u y u ∂ ∂ 222 2 zyx ey ++ = yxyx eyyxy 2422 4 sin )cossin(2 ++ += x f ∂ ∂ = x z z f ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + 222 2 zyx ez ++ + y f ∂ ∂ = y z z f ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + 222 2 zyx ez ++ + ⋅ x sin2 y cos yx2 ⋅ 例 2 （课本 例 3 ）
例3设z=uv+sint,w=e,v=cost,求全导数 dz dt 解： dz oz du dz dy oz (补充题) dt ou dt ov di o Z =ve-usint +cost u y t =e(cost-sint)+cost t 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到，下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 2009年7月6日星期一 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 10 目录 上页 下页 返回 z = vu + t ,sin . d d t z z vu t t t t z d d t = ev ttte t +−= cos)sin(cos t u u z d d ⋅ ∂ ∂ = t v v z d d ⋅ ∂ ∂ + t z ∂ ∂ + , t = eu v = t ,cos 求全导数 解 : − u sin t + cos t 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到 , 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号 . 例3 设 （补充题）