第十章 第三节 ·幂级8(Power Series) 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第三节 幂级数 第十章 （Power Series ） 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 四、小结与思考练习
一、函数项级数的概念 设un(x)(n=1,2,.)为定义在区间I上的函数，称 0 ∑4n()=41(x)+(x)+.+4n()+ n=1 为定义在区间I上的函数项级数. 对x∈I,若常数项级数∑山，(xo)收敛，称x为其收 n=1 敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域； ●● 若常数项级数∑4(xo)发散，称x为其发散点，所有 h=1 发散点的全体称为其发散域. 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、函数项级数的概念 设 ∑ ∞ = ++++= 1 21 )()()()( n n n " xuxuxuxu " 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 0 x ∈ I , 若常数项级数 ∑ ∞ = 1 0 )( n n xu 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 ∑ 敛点 , ∞ = 1 0 )( n n xu 收敛 , 发散 , 所有 0 称 x 0 称 x 为其发散点, 为定义在区间 I 上的函数, 称 为其 收 nxu = "),2,1()( n 发散点的全体称为其发散域
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 00 Sx)=∑4n(x) n=l 若用Sn(x)表示函数项级数前n项的和，即 Sn(x)=∑4(w) k=1 令余项rn(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim S,(x)=S(x),lim r (x)=0 n->oo n-→0 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 xS ,)( 为级数的和函数 , 并写成 )()( 1 xuxS n ∑ n ∞ = = 若用 S x)( n )()( 1 xuxS n k n ∑ k = = 令余项 xr S x S x)()()( n = − n 则在收敛域上有 S n x S x ,)()(limn = ∞→ = 0)(lim→ ∞ xrn n 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它
0 例如，等比级数 ∑x”=1+x+x2+.+x”+. n=0 它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 r 0 n=0 它的发散域是(-0，-1]及[1，+0)，或写作x≥1. 又如，级数 ”x0),当口胶敛 但当0o0 所以级数的收敛域仅为x=1. 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 它的收敛域是 − ,)1,1( − ∞ − + ∞），及 ,1[]1,( ∑ +++++= "" ∞ = n n n xxxx 2 0 1 x x n n − ∑ = ∞ = 1 1 0 它的发散域是 或写作 x ≥ .1 又如, 级数 ,)0( 0 2 ≠ + ∑ ∞ = − x n xx n nn = ∞,)(lim→ ∞ xun n 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 x = .1 当 x ∈ − 时,)1,1( 有和函数 当 x = 时收敛,1 但当 < x ≠ 时,10 例如, 等比级数
二、幂级数及其收敛性 形如 ∑an(x-x0)”=a+a(x-x0)+a2(x-0)2+ n=0 .+an(x-xo)”+. 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,l,)称 为幂级数的系数. 下面着重讨论xo=0的情形，即 ∑anr”=a+4x+☑x2++a,x”+. n=0 例如，春级数立x上<1即是此种情形 n=0 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 二、幂级数及其收敛性 形如 ∑ ∞ = − 0 0 )( n n n xxa +−+−+= 2 02010 xxaxxaa )()( 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 na = "),1,0( n 下面着重讨论 0 x 0 = ∑ ∞ n = 0 n n xa 210 2 " n xaxaxaa n +++++= " 例如, 幂级数 1, 1 1 0 < − ∑ = ∞ = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 " n xxa 0 )( n +−+ " 称
00 定理1(Abel定理)若暴级数∑anx” n=0 在x=x0点收敛，则对满足不等式x0的一切x,该幂级数也发散. 证：设∑an8收敛，则必有lim an=0,于是存在 n=0 n>∞ 常数M>0,使anx5≤M(n=1,2,.) 收敛发散 发散 收0敛 发散 x 2009年7月27日星期一 6 目录 (上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 发 散 收 敛 o 发 散 x 收敛 发散 若幂级数 ∑ ∞ n = 0 n n xa , 在 = xx 0 点收敛 则对满足不等式 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 ∑ ∞ = 0 0 n n n xa lim ,0 0 = ∞→ n n n 收敛 , 则必有 xa ),2,1( n 0 n nMxa =≤ " 于是存在 常数 M > 0, 使 定理 1 ( Abel定理 )
ax-og-o对 ≤M 当xxo且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在，点x。也应收敛，与所设矛盾， 故假设不真.所以若当X=x,时幂级数发散，则对一切 满足不等式x>x的x,原暴级数也发散.证毕 2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 当 时 xx 0 x 满足不等式 0 > xx 所以若当 0 = xx 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知 , 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾 , n n n n n n x x xaxa 0 = 0 n n n x x xa 0 0 ⋅= n x x M 0 ≤ 证毕
0 由Abel定理可以看出，∑anx”的收敛域是以原点为 中心的区间. n=0 用±R表示幂级数收敛与发散的分界点，则 R=0时，幂级数仅在x=0收敛； R=0时，幂级数在(-∞，+∞)收敛； 0<R<oo,幂级数在(-R,R)收敛；在[-R,R] 外发散；在x=士R可能收敛也可能发散· R称为收敛半径，（-R,R)称为收敛区间. (-R,R)加上收敛的端，点称为收敛域。 收敛发散 发散 收0敛 发散 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 幂级数在 (－∞, + ∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, ∑ ∞ n = 0 n n xa 中心的区间. 用 ± R 表示幂级数收敛与发散的分界点 , 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时 , 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = ∞ 时 , R << ∞ ,0 幂级数在 ( －R , R ) 收敛 ; ( －R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域 . R 称为收敛半径 ， 在 [ －R , R ] 外发散 ; 在 x = ± R 可能收敛也可能发散 . ( －R , R ) 称为收敛区间 . 发 散 收 敛 o 发 散 x 收敛 发散
定理2若∑anx”的系数满足lim al|=p,则 n=0 an 1)当p*0时，R=% 2)当p=0时，R=0； 3)当p=∞时，R=0. 证： lim n1 lim an+l n->oo anxh 1)若p≠0，则根据比值审敛法可知： 当px1,即x>}时，原级数发散. 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 x a a xa xa n n n n n n n n = ⋅ + ∞→ + + ∞→ 1 1 1 lim lim ∑ ∞ n = 0 n n xa 的系数满足 lim , 1 = ρ + ∞→ n n n a a ; 1 ρ R = R = ∞ ; R = .0 证 : 1) 若 ρ ≠0, 则根据比值审敛法可知 : 当 ρ x ,1 原级数发散 . = ρ x 即 ρ 1 x 定理2 若
因此级数的收敛半径R=I 2)若p=0,则根据比值审敛法可知，对任意x原级数 绝对收敛，因此R=0; 3)若p=0,则对除x=0以外的一切x原级发散， 因此R=0. 说明：据此定理 00 的收敛半径为R=lim an n=0 an+l 2009年7月27日星期一 10 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 2) 若 ρ = ,0 则根据比值审敛法可知 , 绝对收敛 , R = ∞ ; 3) 若 ρ ∞= ,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , R = .0 对任意 x 原级数 因此 因此 ∑ ∞ n = 0 n n xa 的收敛半径为 说明:据此定理 1 lim + ∞→ = n n n a a R 因此级数的收敛半径 . 1 ρ R =