第八章 第四节 重积今分的应用 (Application of Multiple Integrals) 一、曲面的面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 五、小结与思考练习 2009年7月25日星期六 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 1 目录 上页 下页 返回 第四节 重积分的应用 第八章 (Application of Multiple Integrals) 一、曲面的面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 五、小结与思考练习
一、曲面的面积(Area of Surface) 设光滑曲面S:z=f(x,y),(x,y)∈D 则面积A可看成曲面上各点M(x,y,) 处小切平面的面积dA无限积累而成. 设它在D上的投影为do,则 do=cosy.dA 1 V1+fx2(x,y)+f,2(x,) dA=/1+f2(x.y)+fy2(x.y)do (称为面积元素) 2009年7月25日星期六 2 目录 (上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 2 目录 上页 下页 返回 γ M d A z d σ n 一、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 S z = f x y x y),(,),(: ∈ D 则面积 A 可看成曲面上各点 M x y z),( 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d σ , σ = γ ⋅dcosd A ),(),(1 1 cos 2 2 yxfyxf + x + y γ = d),(),(1d σ 2 2 += x + y yxfyxfA (称为面积元素 ) 则 γ γ M n G d σ (Area of Surface)
故有曲面面积公式 A+)+(x.)da 即 4-1+2+2 dxdy 若光滑曲面方程为x=g(y,),(y,)∈Dy,则有 1.1+(2+6Pad 2009年7月25日星期六 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 3 目录 上页 下页 返回 故有曲面面积公式 d),(),(1 σ 2 2 ∫∫ += + D x y A yxfyxf yx y z x z A D dd)()(1 22 ∫∫ ∂ ∂ + ∂ ∂ += 若光滑曲面方程为 zy z x y x A dd)()(1 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ += ∫∫ ,),(,),( D zy x = yg z y z ∈ 则有 D zy 即
若光滑曲面方程为y=h(z,x),(2,x)∈D2x,则有 1=n.1+2-8ad 若光滑曲面方程为隐式F(x,y,z)=0,且F≠0，则 oz Fx dz Fy 8x F’yF (x,y)∈Dxy dxdy 2009年7月25日星期六 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 4 目录 上页 下页 返回 xz x y z y A dd)()(1 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ += ∫∫ 若光滑曲面方程为 ,),(,),( D xz = hy z x z x ∈ 若光滑曲面方程为隐式 F x y z = ,0),( 则 则有 yx z y z x Dyx F F y z F F x z −= ∈ ∂ ∂ −= ∂ ∂ , ),(, ∫ ∫ ∴ A = D yx D xz z zyx F FFF 222 ++ ≠ ,0 且 Fz x dd y a
例1求半径为a的球的表面积 解：上半球面的方程为 ==Va2-x2-y2 D:x2+y2≤a2 于是+a- 1-2∬++可dd2a-dd =2 nr=.-4d 2009年7月25日星期六 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 5 目录 上页 下页 返回 例 1 求半径为 a 的球的表面积 . 解 : 上半球面的方程为 222 z = −− a x y 于是 2 2 1 z z x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ + + ∂ ∂ , 222 yxa a −− = 222 D x: + y ≤ a 222 2 d d D a x y axy = − − ∫∫ 2 0 0 2 2 1 2d d a a r r a r π = θ − ∫ ∫ ="" 2 2 2 1 dd x y D A z z xy = ++ ∫∫ 2 = 4 . π a
二、质心(Centroid) 设空间有n个质点，分别位于(xk,yk,k),其质量分别 为mk(k=1,2,n),由力学知，该质点系的质心坐标 ∑m m n =m4 为 x=k n y= k=1 2k=1 ∑m k= 设物体占有空间域2，有连续密度函数p(x,y,z),则 采用“大化小，常代变，近似和，取极限”可导出其质心 公式，即： 2009年7月25日星期六 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 6 目录 上页 下页 返回 二、质心 设空间有 n个质点, ,),( k k k x y z 其质量分别 m k n ,),2,1( k = " 由力学知, 该质点系的质心坐标 , 1 1 ∑ ∑ = = = n k k n k kk m mx x , 1 1 ∑ ∑ = = = n k k n k kk m my y ∑ ∑ = = = n k k n k kk m mz z 1 1 设物体占有空间域 Ω , 有连续密度函数 ρ x y z),( 则 公式 , 分别位于 为 为 即: 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限 ” 可导出其质心 （Centroid ）
将2分成n小块，在第k块上任取一点(5k,Ik,Sk), 将第k块看作质量集中于点(5k,k,Sk)的质点，此质点 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.例如， ∑5xp(5,7k,5k)△g X≈k ∑p(5k,7k,5k)Avk k=1 令各小区域的最大直径九→0，即得 ()dxdyd= X= p(x.y.=)dxdydz 2009年7月25日星期六 7 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 7 目录 上页 下页 返回 将 Ω 分成 n 小块, ,),(ξ k ηk ζ k 将第 k 块看作质量集中于点 ),(ξ k ηk ζ k 例如, ∑ ∑ = = Δ Δ ≈ n k kkkk n k kkkkk v v x 1 1 ),( ),( ζηξρ ζηξρξ 令各小区域的最大直径 λ → ,0 ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω = zyxzyx zyxzyxx x ddd),( ddd),( ρ ρ 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 即得 的质点, 此质点 在第 k 块上任取一点
()dxdyd= 同理可得 y三 (x.y.z)dxdyd= p(y.=)dxdyd= (y.=)dxdyd= 当p(xy,z)=常数时，则得形心坐标： xdyd=xdyd= X= v= V xdyd= V (V=dxdyd=为2的体积) 2009年7月25日星期六 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 8 目录 上页 下页 返回 ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω = zyxzyx zyxzyxy y ddd),( ddd),( ρ ρ ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω = zyxzyx zyxzyxz z ddd),( ddd),( ρ ρ 当 ρ zyx ≡ 常数时,),( 则得形心坐标： , ddd V zyxx x ∫∫∫Ω = , ddd V zyxy y ∫∫∫Ω = V zyxz z ∫∫∫Ω = ddd ( = 为 Ω的体积 ) ∫∫∫Ω ddd zyxV 同理可得
若物体为占有xOy面上区域D的平面薄片，其面密度 为(x,y),则它的质心坐标为 x(xy)dxdy My Mx一对x轴的 ydxdy M 静矩 ∬nyu(x,yddy Mx My- 对y轴的 静矩 J∬Da(x,ydy M p=常数时，得D的形心坐标： j川xdxdy。dy (A为D的面积) A A 2009年7月25日星期六 9 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 9 目录 上页 下页 返回 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, 为 μ yx ,),( yxyx yxyxx x D D ∫∫ ∫∫ = dd),( dd),( μ μ yxyx yxyxy y D D ∫∫ ∫∫ = dd),( dd),( μ μ ρ = 常数时, , dd A yxx x ∫∫D = A yxy y ∫ ∫D = dd (A 为 D 的面积 ) 得 D 的形心坐标: 则它的质心坐标为 M M y = M M x = 其面密度 M x M y — 对 x 轴的 静矩 — 对 y 轴的 静矩
例2一个炼钢炉为旋转体形，剖面壁线 的方程为9x2=z(3-z)2,0≤z<3,若炉 内储有高为h的均质钢液，不计炉体的 自重，求它的质心.（补充题） 解：利用对称性可知质心在z轴上，故 X 其坐标为 x=y=0,z= dxdd- 采用柱坐标，则炉壁方程为9r2=(3-z)2,因此 v-S dwdnd-Pd-J.dxdy-3-d- 2009年7月25日星期六 10 目录 、上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 10 目录 上页 下页 返回 V zyxz z ∫∫∫Ω = ddd 的方程为 ,30,)3(9 2 2 zzzx <≤−= 内储有高为 h 的均质钢液, 解 : 利用对称性可知质心在 z 轴上， = yx = ,0 采用柱坐标, 则炉壁方程为 ,)3(9 2 2 −= zzr ∫∫∫Ω V = ddd zyx ∫ −= h zzz 0 2d)3( 9 π ∫∫∫ = D z h ddd yxz 0 因此 故 自重, 求它的质心. (补充题） o x z h 若炉 不计炉体的 其坐标为 例 2 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线