第七章 第二节偏导数Partial Derivative)) 一、偏导数的定义及其计算方法 二、高阶偏导数 三、小结与思考练习 2009年7月5日星期日 1 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 1 目录 上页 下页 返回 第二节 偏导数 第七章 (Partial Derivative) 一、偏导数的定义及其计算方法 二、高阶偏导数 三、小结与思考练习
一、偏导数定义及其计算方法 在一元函数中曾从研究函数的变化率引入了导数的 概念，对于多元函数也常常需要研究它的变化率. 由于多元函数的自变量不止一个，变化率也就会出现 也就会出现各种不同的情况；就二元函数z=∫（化，y)而言， 当点(x,y)沿各种不同的方向变动趋向于(x)时一般有不 同的变化率.我们先讨论当沿着平行于x轴或y轴方向变动 (即一个自变量变化，而另一个自变量固定不变)时函 数的变化率.此时，它们就是一元函数的变化率， 至于其他各个方向的变化率，我们将在第七节中讨论， 2009年7月5日星期日 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 2 目录 上页 下页 返回 一、偏导数定义及其计算方法 在一元函数中曾从研究函数的变化率引入了导数的 概念，对于多元函数也常常需要研究它的变化率. 由于多元函数的自变量不止一个，变化率也就会出现 也就会出现各种不同的情况；就二元函数z = f (x, y )而言， 当点 (x, y )沿各种不同的方向变动趋向于 (x 0, y 0 )时一般有不 同的变化率. 我们先讨论当沿着平行于 x 轴 或 y 轴方向变动 （即一个自变量变化，而另一个自变量固定不变）时函 数的变化率. 此时，它们就是一元函数的变化率. 至于其他各个方向的变化率，我们将在第七节中讨论
定义1设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内 极限 lim f(xo+Ax,yo)-f(xo.yo) Ax-→0 △x 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,y)对x 的偏导数，记为 of 0x(w%)广0x(0,)ow) fx(xo,Yo);(oyo). 注意：(xo)=1im0+A,0)-fxh) △x→0 △x 品nw 2009年7月5日星期日 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 3 目录 上页 下页 返回 z = f x y),( 在点 ), (), ( lim 0 0 0 f y f y x − →Δ 0 0 存在, z f xy x y = (, ) ( , ) 在点 对 x 的偏导数，记为 ;),( 00 x yx z ∂ ∂ ), 0 ( 0 x y 的某邻域内 ; ),( 00 x yx f ∂ ∂ + Δxx0 0x 则称此极限为函数 极限 设函数 f ′ x 0 )( = )()( 0 0 f + Δxx − f x 0 Δx lim x→Δ Δx ;),( 00 f x y x ; ),( 00 yxx z d 0 d x xx y = = .),( 001f ′ x y x f yxx f yx x Δ + Δ − = →Δ ),(),( lim 0 0 00 0 0 ),( d d 0 xx yxf x = = ),( 00 f x y 注意 x : 定义 1
同样可定义对y的偏导数 f(xo vo)=lim f(oo+A)f(%o.0) △y→0 △y -do,功n 若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为 偏导数，记为 ,f,x,fx,川，x,月 8x8x 年，y,川.x四 ay'ay 2009年7月5日星期日 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月5日星期日 4 目录 上页 下页 返回 0 ),( d d 0 yy yxf y = = lim →Δ 0 = y ),( 00 f yx y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x , x z x f x z ∂ ∂ ∂ ∂ 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ),(,),( 1 f x y f x y x ′ ),(,),( 2 f yx f yx y ′ ) ,( 0 f x ),( 0 − f x Δy 记为 y + Δy 0 0 y 或 y 偏导数存在 , , y z y f y z ∂ ∂ ∂ ∂ 同样可定义对 y 的偏导数
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如，三元函数u=f(x,y,)在点(x,y,)处对x的 偏导数定义为 f(x.y.)=lim(x+Ax,.)-f(x.y.) △x→0 △x f(x,y,z)=? (请自己写出) f2(x,y,z)=? 2009年7月5日星期日 5 目录○ 。上页） 下页 、返回
2009年7月5日星期日 5 目录 上页 下页 返回 f yx z),( x 例如 , 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 lim →Δ 0 = x f y z), ( − f y z),( Δx + Δxx f x y z = ?),( y f x y z = ?),( z x 偏导数定义为 (请自己写出 ) 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数
二元函数偏导数的几何意义： of 8x ()x y=yo 是曲线 三=f(x,》在点M处的切线 y=0 MoTx对x轴的斜率. ay 受明- ∫2=f(x》在点M处的切线MoI,对y轴的 是曲线 x=x0 斜率 2009年7月5日星期日 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月5日星期日 6 目录 上页 下页 返回 0 0 ),( d d 0 0 xx yxf x x f xx yy = = ∂ ∂ = = ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 ),( yy z f x y M 0 Tx 0 0 ),( d d 0 0 yy yxf y y f xx yy = = ∂ ∂ = = ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 ),( xx y 是曲线 z f x M 0 Ty 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 是曲线 在点 M0 处的切线 斜率. y x z 0 x Ty o Tx 0 y M0 对 y 轴的 二元函数偏导数的几何意义 :
注意：函数在某点各偏导数都存在， 但在该点不一定连续。 主然00)-x0)x=-0 ,00-800=n-0 在上节已证f(x,y)在，点(0,0)并不连续！ 2009年7月5日星期日 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 7 目录 上页 下页 返回 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ ≠+ == + ,0 0 , 0 ),( 22 22 22 yx yx yx x y yxfz 0 )0,( d d )0,0( = = x xf x f x 0 ),0( d d )0,0( = = y yf y f y = 0 = 0 但在该点不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续 ! 注意：
例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数 解法1： =2x+3y, 8x 2=3x+2y 6.221+32=8,2y31+22-7 0 0z 解法2：)-2=x2+6x+4 ax（L,2)=(2x+6)x=1=8 zx=1=1+3y+y2 (L26+2列，=7（自学深本例1） 0z 2009年7月5日星期日 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月5日星期日 8 目录 上页 下页 返回 2 2 3 ++= yyxxz 解法1: = ∂ ∂ x z x )2,1( z ∂ ∂ ∴ 解法2: x )2,1( z ∂ ∂ 在点(1 , 2) 处的偏导数. y )2,1( z ∂ ∂ + yx ,32 = ∂ ∂ y z + 23 yx = ⋅ + ⋅ = ,82312 y )2,1( z ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ = 72213 46 2 xx ++= 1 )62( = += x x = 8 x = 1 z 2 31 ++= yy 2 )23( += y = y = 7 y = 2 z （自学课本 例 1 ） 例1 求
例2设 f功-ynx+n+amca（3e 求f(1,0). 解：因为f(x,0)=x2lnx,所以 Lo%. (nx儿=2xnx+x- 2009年7月5日星期日 0 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 9 目录 上页 下页 返回 例 2 设 2 2 2 2 ( , ) ( )ln( ) arctan e y x y f xy x y x y x ⎛ ⎞ + = − ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 求 (1,0) x f . 因为 2 解 : f ( ,0) ln x xx = ，所以 1 d (1,0) ( ,0) d x x f f x x = = 2 1 d ( ln ) d x x x x = = = 1 (2 ln ) 1 x xxx = = +=
例3 求r=Vx2+y2+z2 的偏导数 Or 2x 解： 0x 2Vx2+y2+27 r =y. oy 0z r 例4设z=x》(x>0,且x≠1D,求证 x0z+,10=2E yOx Inxoy =x- 0z 证： 0z 0x =x/Inx ay x0z 1 0z yox Inxay =x+x'=22 2009年7月5日星期日 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月5日星期日 10 目录 上页 下页 返回 例3 求 222 ++= zyxr 的偏导数. 解 : = ∂ ∂ x r = ∂ ∂ y r 222 2 ++ zyx 2 x r x = r z z r = ∂ ∂ , r y 例 4 设 y 且 xxxz ≠>= 1,0( ），求证 z y z xx z y x 2 ln 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ 证 : = ∂ ∂ x z ∵ y z xx z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∴ ln 1 yy = + xx = ∂ ∂ y z , y − 1 xy xx y ln = 2 z