第六章 第六节空间直孩及其方程 (Space Straight Line and Its Equation) 一、空间直线方程的一般方程 二、空间直线方程的对称式方程和参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、平面束 六、小结与思考练习 2009年7月3日星期五 1 目录○ 、上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第六节 空间直线及其方程 第六章 ( Space Straight Line and Its Equation) 四、直线与平面的夹角 一、空间直线方程的一般方程 二、空间直线方程的对称式方程和参数方程 三、两直线的夹角 五、平面束 六、小结与思考练习
一、空间直线方程的一般方程 (General Equation of a Space Straight Line) 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 「Ax+B1y+C12+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 (不唯一) 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 x y z o 0 xA + B y + C z + D1111 = 0 xA + B y + C z + D2222 = Π1 Π 2 L 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 (General Equation of a Space Straight Line) (不唯一) 一、空间直线方程的一般方程
二、空间直线方程的对称式方程和参数方程 L.对称式方程（点向式方程）(Symmetric Expression) 已知直线上一点M0(x0,y0,0)和它的方向向量 s=(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,z) 则 MoM∥s M(x,y,2) 故有 X-0=y-y0= 2-20 m n M(x0,0,20) 此式称为直线的对称式方程（也称为点向式方程） 说明：某些分母为零时，其分子也理解为零 例如，当m=n=0,p≠0时，直线方程为 x=X0 y=yo 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 1. 对称式方程（点向式方程 ) (Symmetric Expression) ),( 0000 故有 zyxM 说明 : 某些分母为零时, 其分子也理解为零. m xx − 0 设直线上的动点为 zyxM ),( 则 n yy − 0 = p z z − 0 = 此式称为直线的对称式方程 (也称为点向式方程 ) 直线方程为 s ),( 已知直线上一点 0000 M x y z M x y z),( 例如, 当 = = pnm ≠ 时,0,0 和它的方向向量 s = pnm ,),( M M // s 0 二、空间直线方程的对称式方程和参数方程 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 0 yy xx
3.参数式方程 (Parametric Form 设 x-0=y-0=2-0=i m n p 得参数式方程： x=x0+mt y=yo+nt 2=20+pt 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 设 得参数式方程 : t p z z n yy m xx = − = − = − 0 0 0 = + mxx t 0 y = y + n t 0 z = z + p t 0 3. 参数式方程 (Parametric Form )
例1用对称式及参数式表示直线 x+y+2+1=0 2x-y+3z+4=0 (补充题) 解：先在直线上找一点. 令x=1,解方程组 名得y=0-2 y-3z=6 故(1,0，-2)是直线上一点 再求直线的方向向量， 交已知直线的两平面的法向量为 i1=(1,1,1),m2=(2,-1,3) :s1i,s1m2.s=n1×n2 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 解:先在直线上找一点. 1 0 2 3 40 xyz xy z ⎧ + ++= ⎨ ⎩ − + += 63 2 =− + = − zy y z 2,0 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 y = z = − 交已知直线的两平面的法向量为 故 − )2,0,1( 是直线上一点 . s . ,)1,1,1( n 1 = )3,1,2( n 2 = − 21 ∵ s ⊥ ,n s ⊥ n 21 ∴ s = × nn 例1 用对称式及参数式表示直线 （补充题）
i方 s=nxn= 111 =(4,-1,-3) 2-13 故所给直线的对称式方程为一1= 22+2 4-1-3 x=1+4t 参数式方程为y=-t z=-2-3t 解题思路：先找直线上一点；再找直线的方向向量 (自学课本例) 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−= −= = + tz ty x t 32 41 = t 4 x − 1 − 1 = y 3 2 − + = z 解题思路 : 先找直线上一点;再找直线的方向向量. = − − )3,1,4( 21 s = × nn 312 111 − = i j k (自学课本 例 1 )
例2求与两平面x-4y=3和2x-y-5z=1的交线平 行且过点(-3,2,5)的直线的方程 解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直 线的方向向量s一定同时与两平面的法线向量n1、n2 垂直，所以可以取 s=n×n2=10 -4 =-(47+3j+k) 2-1-5 因此所求直线的方程为 x+3_y-2_2-5 4 3 1 2009年7月3日星期五 7 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 例 2 求与两平面 x － 4y = 3 和 2 x － y － 5z = 1 的交线平 行且过点 ( －3, 2, 5)的直线的方程. 解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直 线的方向向量s 一定同时与两平面的法线向量 n 1 、 n 2 垂直，所以可以取 1 2 1 0 4 (4 3 ) 215 ijk s = × = − =− + + n n i jk − − G G G G G G 因此所求直线的方程为 325 431 xyz + − − = =
3家定线号-学9平2x+y*:-6的交这 (由课本例3改编) 解：所给直线的参数方程为 x=2+t,y=3+t,2=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t)+(3+)+(4+2)-6=0 解上列方程，得t=-1.把求得的值代入直线的参数 方程中，即得所求交点的坐标为 x=1,y=2,2=2 2009年7月3日星期五 8 目录 上页下页 返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 例3 求直线 234 112 xyz − −− = = 与平面 2 x ＋ y ＋ z －6=0的交点. 解：所给直线的参数方程为 x = 2 + t, y =3+ t, z=4+2 t, 代入平面方程中，得 2(2+ t) + (3+ t) + (4+2 t ) －6=0. 解上列方程，得t = －1. 把求得的 t值代入直线的参数 方程中，即得所求交点的坐标为 （由课本例 3改编） x=1, y=2, z=2
三、两直线的夹角 (The Angle between Two Straight Lines 两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角） 设直线L,L,的方向向量分别为 S=(m1,n1,P1),S2=(m2,n2,P2) 则两直线夹角0满足 C0S0= 寸·52 s1 mm2+nn2+pip2 Vm2+n2+p2ym22+m22+p2 2 2 2009年7月3日星期五 9 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 L 2 L 1 ϕ 则两直线夹角 ϕ 满足 21 设直线 , LL = 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角 ) 的方向向量分别为 + + ppnnmm 212121 2 1 2 1 2 1 ++ pnm 2 2 2 2 2 2 ++ pnm ),(,),( 22221111 s = pnm s = pnm 21 21 cos ss s ⋅ s ϕ = 1 s 2 s （The Angle between Two Straight Lines ） 三、两直线的夹角
特别地有： (I)L11L2→152 m1m2+n1n2+p1p2=0 (2)L∥L2→S1∥S2 %1=h1=P1 m2 n2 p2 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 特别地有 : 21 )1( ⊥ LL 21 //)2( LL 0 + + ppnnmm 212121 = 2 1 2 1 2 1 p p n n m m == 21 s ⊥ s 21 s // s