第七章 第七节方向导数与梯度 (Directional Derivative and Grads) 一、方向导数 二、梯度 三、小结与思考练习 2009年7月6日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第七节 方向导数与梯度 第七章 (Directional Derivative and Grads) 一、方向导数 二、梯度 三、小结与思考练习
一、方向导数 定义若函数f(x,y,)在点P(x,y,z)处 沿方向1（方向角为，B,y)存在下列极限： lim △f /P(x,y,z) -lim+Ax,y+Ay,2+)-fcx,y)记作of p→0 al a2+(a翊+9. A-pcosu,Ay=pcs月，dE=cos? 则称⊙∫为函数在点P处沿方向1的方向导数 al 2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回 l P x y z),( 一、方向导数 定义 若函数 f x y z),( ρ ρ Δ f → 0 lim 则称 l f ∂ ∂ l f ∂ ∂ ⎜ ⎝ ⎛ ρ ,)()()( 2 22 ρ Δ+Δ+Δ= zyx x =Δ ρ α ,cos Δ y = ρ β ,cos Δ z = ρ cos γ ⎟ ⎠ ⎞ 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. ρ ρ ),(),( lim0 f x + Δx + Δyy z + Δz − f x y z = → 在点 zyxP ),( 处 沿方向 l (方向角为 α β , γ ) 存在下列极限: P′ = 记作
定理：若函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微 则函数在该，点沿任意方向1的方向导数存在，且有 of=of cosa+ of cosy of cosB+ y 其中，B,y为1的方向角. 0 证明：由函数f(x,y,z)在点P可微，得 P(x,y,2） A-A) 8x P(S cosa+ cc)() 故 of=lim al cococ p-→0p0x osu ay 2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回 若函数 在点 zyxPzyxf 处可微 ,),(),( P x y z),( l 则函数在该点 沿任意方向 l 的方向导数存在 , ρ ρ f l f Δ = ∂ ∂ → 0 lim cos α cos β cos γ z f y f x f l f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 其中 α β , γ 为 l的方向角. 证明: 由函数 f x y z),( oz ρ )( z f y y f x x f f +Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ =Δ = ρ ( ) cos α cos β cos γ z f y f x f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 且有 + o ρ )( 在点 P 可微 , 得 ρ P′ 故 cos α cos β cos γ z f y f x f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 定理 :
对于二元函数f(x,y),在点P(x,y)处沿方向1（方向角 为B)的方向导数为 of=lim f(AyAy)-) 01p-→0 P =f(x,y)cosa+fy(x,y)cos B x (p=(Ax)2+(Av)2,Ax=pcosa,Ay=pcosB) 特别： ·当1与x轴同向(a=0,B=)时，有-1 81 0x ·当1与x轴反向（α=元，B=牙）时，有 of_of 2 al ∂x 2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回 对于二元函数 f x y ,),( 为 α, β ) 的方向导数为 在点 yxP ),( 处沿方向 l ( 方 ρ ρ ),(),( lim0 f yyxx f yx l f + Δ + Δ − = ∂ ∂ → = f x yx α + f y yx cos),(cos),( β ,)()(( 2 2 ρ Δ+Δ= yx Δ x = ρ α Δ y = ρ β )cos.,cos P l x y o x f l f ∂ ∂ = ∂ ∂ 特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( ) ,有时 2 ,0 π βα == • 当 l 与 x 轴反向 ( ) 时,有 2 , π βπα == x f l f ∂ ∂ −= ∂ ∂ l 向角
例1设函数r=√x2+y2,求r沿从原点0至任 意点P(x,y)的方向导数 提示： 兰=月aisa+nomA 例2求函数u=(x-1)2+2(y+1)2+3(z-2)2-6在点 (2,0,1)处沿向量(1，-2，-2)的方向导数 提示： of cosB+ of_ofcosa+ a1 0x y ofcosy 2009年7月6日星期一 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 5 目录 上页 下页 返回 例 1 设函数 2 2 r xy = + ，求 r 沿从原点 O 至任 意点 P(, ) x y 的方向导数. 提示 : ( , )cos ( , )cos x y f f xy f xy l α β ∂ = + ∂ 例 2 求函数 222 ux y z = ( 1) 2( 1) 3( 2) 6 −+ ++ − − 在点 (2,0,1) 处沿向量(1, 2, 2) − − 的方向导数. 提示 : cos cos cos ff f f lx y z α β γ ∂∂ ∂ ∂ =+ + ∂∂ ∂ ∂
二、梯度 方向导数公式 af_of cosa+ 8x of cosB+z y cosy 令向量G= ofof of ∂x’ay’0z 0=(cosa,cosB,cosy） f=Gi°=Gcos(G,i0)(i°=1) al 当10与G方向一致时，方向导数取最大值： m()-d 这说明 方向：f变化率最大的方向 模：∫的最大变化率之值 2009年7月6日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 6 目录 上页 下页 返回 二、梯度 方向导数公式 cos α cos β cos γ z f y f x f l f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 方向导数取最大值： 模 : f 的最大变化率之值 ⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎝ ⎛ = z f y f x f G , )cos,cos,(cos 0 l = γβα ),cos( 0 = lGG )1( 0 l = 0 lG l f ⋅= ∂ ∂ , 当 0 与Gl 方向一致时 G : ( ) G l f = ∂ ∂ max
定义向量G称为函数f(P)在，点P处的梯度(gradient), 记作gradf,即 gwr(88)-8++ 同样可定义二元函数∫(x,y)在点P(x,y)处的梯度 edr-8+影-(8g8） 说明：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 2009年7月6日星期一 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 7 目录 上页 下页 返回 g r a d f , 即 g r a d f 同样可定义二元函数 f x y),( yxP ),( ⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = y f x f j y f i x f f , G G grad 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 ⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎝ ⎛ = z f y f x f , k z f j y f i x f G G G ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 记作 G (gradient), 在点 处的梯度 说明 : 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 定义 向量
网3求函数本在点，山处附棉度 提示： 例4求函数u=x2 ysinz在任意点(x,y,z)处的梯度 提示：gradu(x,y,z)= “i+a“j+9 ox ay =2xysinzi+x2sinzj+x2ycoszk 2009年7月6日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 8 目录 上页 下页 返回 例 3 求函数 2 2 1 z x y = + 在点(1,1) 处的梯度. 提示 : grad z i , z z zz x y x y j ⎛ ⎞ =+ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ G G 例 4 求函数 2 u x = y sin z 在任意点(, ,) xyz 处的梯度. 提示 : (, ,) uuu x uxyz i j k y z ∂ ∂ =+ + ∂ ∂∂ ∂ grad G G G 2 2 = ++ 2 sin sin cos xy z x z xy z i j k G G G
可以证明，梯度具有以下运算性质： 若函数f(P),g(P)在区域D内各个偏导数都存在，则 (1)grad(f(P)+g(P))=gradf(P)+gradf(P); (2)grad(Cf(P)=Cgradf(P),C为常数； (3)grad(f(P)g(P))=f(P)gradg(P)+g(P)gradf(P). 2009年7月6日星期一 9 目录○ 上页下页 返回
2009年7月6日星期一 9 目录 上页 下页 返回 可以证明，梯度具有以下运算性质： 若函数 f ( ) P ， g( ) P 在区域 D 内各个偏导数都存在，则 （1）grad( ( ) ( )) ( ) ( ) f P gP f P f P + = + grad grad ； （ 2 ）grad grad ( ( )) ( ) Cf P C f P = ，C 为常数； （3）grad( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) f PgP f P gP gP f P = grad grad +
内容小结 1.方向导数 ·三元函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)沿方向I(方向角 为，B,y)的方向导数为 a1 0x .cosB+ Oy 0z ·二元函数∫(x,y)在点P(x,y)沿方向I(方向角为 ,B)的方向导数为 of_of cosa of cosB- sina al ax ay .cosa+ x y 2009年7月6日星期一 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 10 目录 上页 下页 返回 内容小结 1. 方向导数 • 三元函数 f x y z),( 在点 P x y z),( 沿方向 l (方向角 为 α β γ ), 的方向导数为 cos α cos cosγβ z f y f x f l f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ • 二元函数 f x y),( 在点 P x y),( α β ), 的方向导数为 cos α cos β y f x f l f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 沿方向 l (方向角为 y f x f ∂ ∂ + ∂ ∂ = cos α sin α