常用函数的暴级数展开式 。ex=1+x+ X2++x”+。x(0,+∞ n! 。lh(1+x)=x- 2x314+ (-1)” 3 n+1 x∈(-1，+1] 比J 2n1 ●S1nx=x 十· 31 517+.+(-10 (2n+1)川 x∈(-0，+0 ●c0Sx=1 +x6 2 461++(1x2 (2n)！x∈(-o,+∞) ●(1+x)m=1+mx+mm-x2 21 x∈(-1,1) +m(m-1)-(m-n+1) 2009年7月27日星期一 n 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 常用函数的幂级数展开式 x • e = 1 + x x ∈ − ∞ + ∞),( 2 !2 1 + x , ! 1 " x n +++ " n • + x)1(ln = x x ∈ − + ]1,1( 2 2 1 − x 3 3 1 + x 4 +− " 4 1 x 1 1 )1( + + − + n n x n + " + " + −+ + !)12( )1( 12 n x n n • sin x = x !3 3 x − !5 5 x + +− " !7 7 x • cos x = 1 !2 2 x − !4 4 x + +− " !6 6 x +−+ " !)2( )1( 2 n x n n x ∈ − ∞,( ∞+ ) x ∈ − ∞ + ∞),( m +• x)1( = 1 + xm 2 !2 )1( x mm − + + " " " + − − + + n x n nmmm ! )1()1( x ∈ − )1,1(
第十章 第三节品数的幂级数展开式的应用 (Application of expanding of power series) 一、近似计算 二、欧拉公式 2009年7月27日星期一 2 目录○ 上页)下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 第三节 函数的幂级数展开式的应用 第十章 (Application of expanding of power series) 一、近似计算 二、欧拉公式
一、近似计算(Approximate computation) 例1计算ln2的近似值，使准确到10-4 解：已知 n1+)=x-r 4+. (-1<x≤1) 2 3 .2 3 ∴.ln(l-x)=-x- x4 (-1≤x<1) 234 故 n!+x=In+x)-ln(l-x) In 7 1-x 2(x+5x.）(-10 ☆+x=2得x=3于是有 1 令1-× 2009年7月27日星期一 3 目录 上页今 下页 返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 一、近似计算 (Approximate computation) )11( 432 )1ln( 432 ∴ x <≤−−−−−−=− xxx xx " 例1 计算 2ln 的近似值 ,使准确到 .10− 4 解 : 已知 )11( 432 )1ln( 432 x ≤<−+−+−=+ xxx xx " 故 )1ln()1ln( 1 1 ln xx x x −−+= − + ( +++= " ) 53 5 1 3 1 2 xxx 令 2 1 1 = − + x x 得 − < x < )11( , 3 1 x = 于是有
n2=2 在上述展开式中取前四项， -2g为h如*】 g） 1 <0.2×10-4 78732 ln2≈2 1,11 737 ≈0.6931 2009年7月27日星期一 4 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 5 7 +⋅+⋅+⋅+= " 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 22ln 4 9 3 1 9 1 2⎜ ⋅ ⎝ ⎛ ∵ r = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 11 ) 2 +++< " 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − ⋅= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∴ ⋅+⋅+⋅+≈ 753 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 22ln ≈ 6931.0 11 3 1 11 1 ⋅+ ⎟ ⎠ ⎞ 13 +⋅+ " 3 1 13 1 9 34 1 ⋅ = 4 102.0 78732 1 − ×<= 在上述展开式中取前四项
2计算积分元erdx的近似值，特确到104 (取元≈0.56419) 解：e=1+-)+2)22)3 1 2！ 31 (-0<X<+0) n=0 -n=0 2川2 1 ）22n+l 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 ( 取 xe x d 2 1 2 0 1 ∫ − π 的近似值, 精确到 )56419.0 1 ≈ π 解 : 1 2 = − x e ! )1( 2 0 n x n n n ∑ ∞ = −= ( − ∞ < x < + ∞ ) xe x d 2 2 2 1 0 − ∫ π d x 2 2 1 0 ∫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = π ! )1( 2 0 n x n n n ∑ ∞ = − ∑ ∞ = − = 0 ! )1(2 n n π n xx n d 2 0 2 1 ∫ .10− 4 !1 )( 2 − x + !2 )( 22 − x + + " − + !3 )( 32 x ∑ ∞ = ⋅ − = 0 ! )1(2 n n π n 12 2 1 n + n + )12( 例2 计算积分
欲使截断误差n104>n≥4 取n=4,则所求积分近似值为 2小er1 22.324.5.2126.7.31 ≈0.5205 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 ( ) !372 1 !252 1 32 1 1 1 42 6 ⋅⋅ − ⋅⋅ + ⋅ −≈ π ∫ − x xde = " 2 2 1 0 2 π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅⋅ − ⋅⋅ + ⋅ −= " !372 1 !252 1 32 1 1 1 42 6 π n n nn r 2 2)12(! 11 ⋅+ ⋅+⋅ 102)12(! n 则 n 应满足 π nn n ≥ 4 xe x d 2 2 1 2 0 ∫ − π 则所求积分近似值为 欲使截断误差 ≈ 5205.0 取 n = ,4
二、欧拉公式(Euler formula) 对复数项级数 ∑(4n+iyn) n=l 0 若∑山，=山，∑n=y则称①收敛，且其和为u+i n=1 n=l 00 若∑山，+iyn=∑V+收敛，则称四绝对收敛 n=1 n=l 由于4n≤yn2+n2,≤n2+W2,故知 00 0 ∑(un+iyn)绝对收敛→】 ∑4n,∑n绝对收敛 n=l =l n=1 ∑(4n+iyn)收敛. n=1 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 二、欧拉公式 (Euler formula) )( 1 n n n ∑ + viu ∞ = 则称 ① 收敛 , 且其和为 )( 1 n n n ∑ + viu ∞ = 绝对收敛 , 1 ∑ ∞ n = n u )( 1 n n n ∑ + viu ∞ = 收敛 . , 1 uu n ∑ n = ∞ = , 1 vv n ∑ n = ∞ = 若 nn n ∑ + viu ∞ = 1 + viu . 22 1 nn n ∑ += vu ∞ = 收敛 , 若 对复数项级数 , 22 nnn +≤ vuu 22 nnn +≤ vuv ① ∑ ∞ n = 1 n v 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知
定义复变量z=x+iy的指数函数为 e=1+z+22 (z<0) 易证它在整个复平面上绝对收敛. 当y=0时，它与实指数函数ex的幂级数展式一致. 当x=0时， e-1+iy+2+3++y+ -cosy+i siny 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 z = + yix 的指数函数为 )( ! 1 !2 1 1 2 zz ∞<+++++= n zzez " n " 易证它在整个复平面上绝对收敛 . 当 y = 0 时, 它与实指数函数 x e 当 x = 0 时 , yi " yi n ++++++= " n yiyiyie )(! 1 )(!3 1 )(!2 1 1 2 3 ⎟ ⎠ ⎞ + − ⎜ +−+− ⎝ ⎛ = " n " n y n yy 42 2 !)2( )1( !4 1 !2 1 1 + i = cos y + ⎟ ⎠ ⎞ + − − ⎜ +−+− ⎝ ⎛ − − " 12 " 1 53 !)12( )1( !5 1 !3 1 n n y n yyy i sin y 的幂级数展式一致 . 定义 复变量
eix =cosx+i sinx (欧拉公式) e-ix cosx-i sinx COSX= 2 则 eix-e-ix (也称欧拉公式) sinx= 2i y z=x+iy 利用欧拉公式可得复数的指数形式 z=x+iy=r(cos0+isine) =reie xx 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 xixei x += sincos xixe i x −= sincos − （欧拉公式） 2 cos i x i x ee x − + = （也称欧拉公式） 利用欧拉公式可得复数的指数形式 r θ x x y y o z = x + yi z = + yix = ( θ + ir sincos θ ) i θ = er 则 i ee x i x i x 2 sin − − =
据此可得 y↑ (cos0+i sine)"=cosne+i sinne Z=x+iy (德莫弗公式) 利用幂级数的乘法，不难验证 e1+2=e1.e2 特别有 extiy=ex.e'=ex(cosy+isiny)(x,yER) exiy =e%(cosy+isiny)=ex 课外练习 习题10-51(2)，(4)；2 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 据此可得 n + i θθ )sin(cos = cos θ + sin nin θ (德莫弗公式 ) 利用幂级数的乘法, 不难验证 2121 z z z z = ⋅ eee + 特别有 yix e + yiye )sin(cos x += x y ∈ R),( yix e + yix = ⋅ ee yiye )sin(cos x = + x = e r θ x x y y o z = x + yi 课外练习 习题10 －5 1(2) , (4) ; 2