第十一章 第)、节常系数非齐次孩性微分方程 (Constant coefficient non-homogeneous linear differential equation) 一、f(x)=exPm(x)型 二、f(x)=e2x[B(x)cos@x+n(x)sin @x]型 三、欧拉方程 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第八节 常系数 非齐次线性微分方程 第十一章 (Constant coefficient non-homogeneous linear differential equation) 三、欧拉方程 () () x m fx e P x λ = 型 xxPexf l x ω λ = cos)([)( ( )sin ] Pn + x x ω 型 一、 四、小结与思考练习 二
二阶常系数线性非齐次微分方程： y”+py+qy=f(x)（p,q为常数) ① 根据解的结构定理，其通解为 yy+吨 齐次方程通解非齐次方程特解 求特解的方法一待定系数法 根据f(x)的特殊形式，给出特解y*的待定形式， 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数· 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 ′′ + ′ + yqypy = f x)( qp 为常数),( 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y = Y + y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 y *的待定形式 , 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法
一、f(x)=e2xPnm(x)型 2为实数，Pm(x)为m次多项式. 设特解为y*=e2Q(x),其中Q(x)为待定多项式， y*'=e2x[2Q(x+'(x)] y*"=e2x[29(x+2元g'(y)+"] 代入原方程，得 Q"(x)+(21+p)0'(x)+(2+p元+q)Q(x)=Pm(x) (1)若入不是特征方程的根，即22+p几+q≠0，则取 2(c)为m次待定系数多项式Qm(x),从而得到特解 形式为y*=eQm(x): 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 一、 = λ x m xPexf )()( 型 λ 为实数 , P x)( m 为 m 次多项式 . xQe )([ x ′′ λ + λ + ′ xQp )()2( ( ])() 2 λλ +++ xQqp m xPe )( λ x = 设特解为 xQey ,)(* λ x = 其中 为待定多项式 xQ )( , xQxQey ])()([* x ′ = λ + ′ λ ])()(2)([* 2 xQxQxQey x ′′ = λ + λ ′ + ′′ λ 代入原方程 , 得 Q′′ x)( (1) 若 λ 不是特征方程的根, ,0 2 即 λλ qp ≠++ 则取 xQ ),( m 从而得到特解 形式为 xQey .)(* m λ x = + λ + ′ xQp )()2( ( )() 2 λλ +++ xQqp P x)( = m Q (x) 为 m 次待定系数多项式
Q"(x)∈(2+卫2'(x)22+p元+g0(x)=Pm(x) (2)若2是特征方程的单根，即 2+p2+q=0,22+p≠0， 则Q'(x)为m次多项式，故特解形式为y*=x9m(x)e2x (3)若入是特征方程的重根，即 22+p元+q=0,22+p=0, 则Q"(x)是m次多项式，故特解形式为y*=x2m(x)e2x 小结对方程①，当入是特征方程的k重根时，可设 特解y*=xQnm(x)ex(k=0,1,2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程. 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 (2) 若 λ 是特征方程的单根 , ,0 2 λλ qp =++ λ + p ≠ ,02 则 Q′ x)( 为 m 次多项式 , 故特解形式为 x m exQxy λ = )(* (3) 若 λ 是特征方程的重根 , ,0 2 λλ qp =++ λ + p = ,02 则 Q′′ x)( 是 m 次多项式 ,故特解形式为 x m exQxy λ )(* 2 = 小结 对方程① , = kexQxy = )2,1,0()(* x m k λ 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . Q′′ x)( + λ + Qp ′ x)()2( P x)( + ( ) x)( = m 2 λλ ++ Qqp 即 即 当 λ 是特征方程的 k 重根 时 ,可设 特解
例1求方程y"-2y'-3y=3+1的一个特解.（补充题） 解：本题九=0，而特征方程为r2-2r-3=0, 入=0不是特征方程的根. 设所求特解为y*=b0x+b,代入方程： -3bx-3b-2b=3x+1 比较系数，得 ∫-3b=3 1-26-36=1一60=-1,4= 3 于是所求特解为*=-x+3(自行练习课本例1) 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 求方程 ′′ − ′ − = xyyy +1332 的一个特解. ,032 2 解 : 本题 而特征方程为 rr =−− 不是特征方程的根 . 设所求特解为 ,* 10 y = b x + b 代入方程 : 13233 − b x − − bb 010 = x + 比较系数, 得 ⎩ ⎨ ⎧ 33 − b 0 = 132 − − bb 10 = 3 1 ,1 0 bb 1 =−= 于是所求特解为 . 3 1 * xy +−= λ = 0 λ = ,0 例 1 （补充题 ） （自行练习课本例 1 ）
例2求方程y”-5y+6y=xe2x的通解.（补充题）》 解：本题2=2，特征方程为r2-5r+6=0,其根为 1=222=3 对应齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2e3x 设非齐次方程特解为*=x(bx+b)e2 代入方程得-2bx-b,+2b=x 线负桥2为一 因此特解为y*=x(-2x-1)e2x.(自学课本例2) 所求通解为y=C1e2x+C2e3x-(2x2+x)e2x 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 2 5 6 x 求方程 y y y xe ′′ ′ −+= 的通解. 解 : 本题 特征方程为 ,065 2 rr =+− 其根为 对应齐次方程的通解为 x x Y eCeC 3 2 2 1 += x ebxbxy 2 10 设非齐次方程特解为 += )(* 比较系数, 得 ⎩ ⎨ ⎧ 12 − b 0 = 02 − bb 10 = 1, 2 1 0 bb 1 −=−= 因此特解为 .)1(* 2 2 1 x −−= exxy 3,2 1 = rr 2 = 代入方程得 − − + = xbbxb 010 2 2 所求通解为 x x eCeCy 3 2 2 1 += .)( 22 2 1 x +− exx λ = ,2 例 2 （补充题） （自学课本例 2 ）
二、f(x)=e2x[D(x)cOS@x+pn(x)sin@x]型 分析思路： 第一步将fx)转化为 f(x)=Pn(x)e()+(x)e) 第二步求出如下两个方程的特解 y"+py'+qy=Pn(x)e(atio)x y"+py'+qy=P(x)e(atio)x 第三步利用叠加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特点 2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 二、 λ x [ l ω n sin)( ω xxPxxPexf ] 型 ~ = cos)()( + = + + xi m exPxf )( )()( λ ω xi m exP )( )( λ+ ω 第二步 求出如下两个方程的特解 xi m exPyqypy )( )( λ+ ω ′′ + ′ =+ ′′ + ′ + yqypy = 分析思路 : 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 xi m exP )( )( λ+ ω
第一步利用欧拉公式将f)变形 =p elox -e-iox 2 +F(x) 2i 令m=max{n,1},则 f(x)=Pn(x)e(i)+P(x)e(A-i0)x =Pn(x)e()+()e) 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 利用欧拉公式将 f (x) 变形 ⎢⎣ ⎡ = x exf λ )( ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += i nl xPxP 2 )( ~ 2 )( xi e λ+ ω)( ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ i nl xPxP 2 )( ~ 2 )( xi e λ− ω)( = + + xi m exPxf )( )()( λ ω xi m exP )( )( λ− ω = + + xi m exP )( )( λ ω xi m exP )( )( λ+ ω 令 = { lnm },max 则 P x)( l 2 xixi ee ω − ω + )( ~ + n xP ⎥⎦ − ⎤ − i ee xixi 2 ω ω 第一步
第二步求如下两方程的特解 y"+py'+qy=P(x)e(Atio)x ② y"+py'+qy=Pn(x)e(tio)x ③ 设入+io是特征方程的k重根(k=0,1),则②有 特解： 片=xQn(x)e+i@)r(m(x)为m次多项式) 故 (i)"+p(vi)+qyi=P(x)e(ti@)x 等式两边取共轭： 片+p片+g片=Pm(x)e+iox 这说明为方程③的特解. 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 λ + i ω 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), xi m k exQxy )( 1 )( ∗ λ+ ω = m )(( 为mxQ 次多项式 ) 故 xi m exPyqypy )( 1 11 )()( )( ∗ ∗ ∗ λ+ ω ′′ + ′ ≡+ 等式两边取共轭 : xi m exPyqypy )( 1 11 )( ∗ ∗∗ + ωλ ≡+′ + ″ ∗ 1 这说明 y 为方程 ③ 的特解 . xi m exPyqypy )( )( λ+ ω ′′ + ′ =+ ② xi m exPyqypy )( )( λ+ ω ′′ + ′ =+ ③ 设 则 ② 有 特解 : 第二步 求如下两方程的特解
第三步求原方程的特解 原方程 y"+py'+qy=es[P (x)cosox+F(x)sin@x] 利用第二步的结果，根据叠加原理，原方程有特解： y*=+州 -xkeix[On+Qmeix] =xex[Qm(cos@x+isin@x) +Om (cosox-isin@x)] =xkeix[Rm cos@x+Rm sin@x] 其中Rm均为m次多项式. 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : ∗ ∗ += 11 * yyy [ ] xk ex λ = xi m xi m eQeQ ω − ω + 原方程 ′′ + ′ + yqypy = [ xxPxxPe ] l n x ω ω λ sin)( ~ cos)( + [ xk ex λ = m (cos ω + ω xixQ )sin + m (cos ω − ω xixQ )sin ] [ ] xk ex λ = m cos ω xR m sin ω xR~ + , 其中 R m m R 均为 m 次多项式 . 第三步 求原方程的特解