第九章曲孩积分与曲面积 Integral over curve and Integral over surface 主要内容 第一节对孤长的曲线积分 第二节对坐标的曲线积分 第三节格林公式及其应用 第四节对面积的曲面积分 第五节对坐标的曲面积分 第六节高斯公式斯托克斯公式 2009年7月26日星期日 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 2 目录 上页 下页 返回 第九章 曲线积分与曲面积分 （Integral over curve and Integral over surface ） 第一节 对弧长的曲线积分 第二节 对坐标的曲线积分 第三节 格林公式及其应用 第四节 对面积的曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分 第六节 高斯公式 斯托克斯公式 主要内容
第九章 第一节孤长的曲我积 Integral over curve for arc length 一、对孤长的曲线积分的概念与性质 二、对孤长曲线积分的计算法 三、小结与思考练习 2009年7月26日星期日 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月26日星期日 3 目录 上页 下页 返回 第一节 弧长的曲线积分 第九章 （Integral over curve for arc length ） 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长曲线积分的计算法 三、小结与思考练习
一、对孤长的曲线积分的概念与性质 (Conception of integral over curve for arc length) 1.曲线形构件质量的计算' B M- 匀质之质量M=p·S. (5,n M M2 分割M1,M2,.,M-1→△S A M X 取(5,7，)∈△S,△M:≈p(5,n)△s 求和M≈∑p(5,7)A 近似值 取极限 M=2p5,n)小-A 精确值 2009年7月26日星期日 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 4 目录 上页 下页 返回 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1. 曲线形构件质量的计算 o x y A B Mn − 1 Mi Mi− 1 M2 M1 ),(ξ i ηi L 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 , , 21 n 1 i M M M → Δ s " − (, ) , ii i 取 ξ η ∈ Δ s .),( i i i i ΔM ≈ ρ ξ η Δ⋅ s 求和 .),( 1 ∑= ≈ Δ⋅ n i iii M ηξρ s .),(lim 1 取极限 0 ∑= → = Δ⋅ n i iii M ηξρ s λ 近似值 精确值 (Conception of integral over curve for arc length)
2.对孤长的曲线积分的概念 定义设L为xOy面内的一条光滑曲线孤，∫(x,y) 在L上有界.用一点列M,(i=1,2,.,n-1)将L 分成n个小孤段，设第i个小弧段M-M,的长度为△s, (i=1,2,3,n).在M,-M,上任取一点(5，n,),并作和， ∑f(5,)△s,如果当各小弧段的长度的最大值 →0时，这和的极限1im∑f(怎，n,)八总存在，那么 →0 i=1 那么称此极限值为f(x,y)在L上对孤长的曲线积分（或 第一类曲线积分)，记为」，f(x,y)ds,即 2009年7月26日星期日 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 5 目录 上页 下页 返回 2. 对弧长的曲线积分的概念 定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧，f xy (, ) 在 L 上有界．用一点列 Mi （ i = 1, 2, , 1 " n − ）将 L 分成 n 个小弧段，设第 i 个小弧段 M q i i −1M 的长度为 i Δs (i n = 1, 2,3., ) ．在 M q i i −1M 上任取一点(, ) i i ξ η ,并作和, 1 (, ) n ii i i f s = ∑ ξ η Δ ，如果当各小弧段的长度的最大值 λ → 0 时, 这和的极限 0 1 lim ( , ) n ii i i f s → = ∑ Δ λ ξ η 总存在, 那么称此极限值为 f (, ) x y 在 L 上对弧长的曲线积分（或 第一类曲线积分 ）, 那么 记为 ( , )d L f xy s ∫ ,即
∫x,s=m∑f5,n,As 0i21 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分孤段. 如果L是闭曲线，那么该曲线积分就记为∮，f(x,y)s 若L为空间光滑曲线孤，f(x,y,z)为定义在L上 的有界函数，则可类似地定义f(x,y,)在空间曲线 L上的对孤长的曲线积分 ∫，飞=m∑f5,A 如果L是闭曲线，那么该曲线积分就记为∮，f(xy,) 2009年7月26日星期日 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 6 目录 上页 下页 返回 ( , )d L f xy s ∫ 0 1 lim ( , ) n ii i i f s → = = ∑ Δ λ ξ η 其中 f (, ) x y 叫做被积函数， L 叫做积分弧段． 如果 L 是闭曲线，那么该曲线积分就记为 ( , )d L f x y s v∫ . 若 L 为空间光滑曲线弧， f (, ,) xyz 为定义在 L 上 的有界函数，则可类似地定义 f (, ,) xyz 在空间曲 线 L 上的对弧长的曲线积分 ( , , )d L f x y z s ∫ 0 1 lim ( , , ) n iii i i f s → = = ∑ Δ λ ξηζ . 如果 L 是闭曲线，那么该曲线积分就记为 ( , , )d L f x y z s v∫
3.对孤长的曲线积分的性质 性质1两个函数代数和的曲线积分等于这两个函 数的曲线积分的代数和.即 ∫2Lf(x,y)±g(x,yds=J2f(x,y)ds±∫28(x,yds 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面！ 即 ,f(x,y)ds=kx,y)(k为常数). 性质3若被积函数为常数1，则曲线积分为积分孤 段的长，即 =s. 2009年7月26日星期日 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 7 目录 上页 下页 返回 3. 对弧长的曲线积分的性质 性质 1 两个函数代数 和的曲线积分等 于这两个函 数的曲线积分的代数和．即 [ ( , ) ( , )]d ( , )d ( , )d L L L f xy gxy s f xy s gxy s ±= ± ∫ ∫∫ 性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面, 即 ( , )d ( , )d L L kf x y s k f x y s = ∫ ∫ ( k 为常数 )． 性质 3 若被积函数为常数 1，则曲线积分为积分 弧 段的长，即 d L s ∫ = s
性质4（分段可加性）若积分孤段L是由两段 光滑曲线孤L和L,所构成，则 ∫，fx,yd=fGx,ys+,fx,yds. 性质4可推广到有限段光滑孤的情形， 性质5（保序性）如果在L上f(x)≤g(x),则 ∫fx,ys≤j,g(x.y)ds. 特别地，有fx,yds≤fx,ds. 2009年7月26日星期日 8 目录 上页今 下页 、返回
2009年7月26日星期日 8 目录 上页 下页 返回 性质 4（分段可加性） 若积分弧段 L 是由两段 光滑曲线弧 L1 和 L 2 所构成,则 ( , )d L f xy s ∫ 1 2 ( , )d ( , )d L L = + f xy s f xy s ∫ ∫ ． 性质 4 可推广到有限段光滑弧的情形． 性质 5（保序性）如果在 L 上 f ( ) x ≤ xg )( ,则 ( , )d L f xy s ∫ ≤ ( , )d L gxy s ∫ ． 特别地,有 ( , )d L f xy s ∫ ≤ (, ) d L f xy s ∫ ．
二、对孤长的曲线积分的计算 定理1设L是光滑曲线，其参数方程为 ∫x=o0),(u≤1≤B), (y=w(t), f(x,y)为定义在L上的连续函数，则曲线积分∫f(x,)d 并且 Sf(x.yds=(dr 推广：T:x=p(t),y=Ψ(t),z=o(t).(C≤t≤B) nf(xy,2ds=2f[0.w(),o00”0+20+o0di 2009年7月26日星期日 9 目录 上页 下页 、返回一
2009年7月26日星期日 9 目录 上页 下页 返回 二、对弧长的曲线积分的计算 定理 1 设 L 是光滑曲线,其参数方程为 ( ) , ( ) , x t y t ⎧ = ⎨ ⎩ = ϕ ψ （ α ≤ ≤t β ）, f (, ) x y 为定义在 L 上的连续函数, 则曲线积分 ( , )d L f xy s ∫ 并且 ( , )d L f xy s ∫ 2 2 ft t [ ( ( )] ), () () t t t d β α = ϕ ψ ϕ ψ ′ ′ + ∫ 推广: Γ x = ϕ t y = ψ t z = ω t α ≤ t ≤ β )().(),(),(: f ( , , )d xyz s ∫Γ 222 f [ ( ), ( ), ttt( d )] ( )t ( ) t t ) ( t β α = φψ ω φψ ω ′′′ + + ∫
例1计算曲线积分∫(x2+y+1)ds,其中曲线L的参 数方程为 解：根据对孤长的曲线积分的计算公式，得 ∫x2+y+1)ds (cos2+sin2+1)sin21+cos2 idi =4m 2009年7月26日星期日 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月26日星期日 10 目录 上页 下页 返回 例 1 计算曲线积分 2 2 ( 1)d L x + + y s ∫ ，其中曲线 L 的参 数方程为 cos , : sin , x t L y t ⎧ = ⎨ ⎩ = (0 2 ≤ t ≤ π ). 解：根据对弧长的曲线积分的计算公式,得 2 2 ( 1)d L xy s + + ∫ 2 2 π 0 2 2 2 = (cos sin 1) t t + + sin cos d t tt + ∫ = 4 π
例2计算∫，3s,其中L是抛物 线y2=2x从坐标原点O(0,0)到点 M(1)的一段（如右图）. 解：L的方程y2=2x可化为参数 1 方程：L: x= 2 2 (0≤t≤1) y=t, 根据对孤长的曲线积分的计算公式，得 ∫3ds=j3wF+1=vF+1d(2+)=. 2009年7月26日星期日 11 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 11 目录 上页 下页 返回 例 2 计算 3 d L y s ∫ ，其中 L 是抛物 线 2 y x = 2 从坐标原点 O(0,0) 到点 1( ,1) 2 M 的一段（如右图）. 解： L 的方程 2 y x = 2 可化为参 数 方程： 1 2 , : 2 , x t L y t ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ = (0 1) ≤ t ≤ 根据对弧长的曲线积分的计算公式,得 3 d L y s ∫ 1 2 0 = + 3 1d tt t ∫ ( ) 1 2 2 0 3 1d 1 2 = t t + + ∫ =