第七章 第五节隐函数的求导公式 (Derivation of Implicit Function) 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结与思考练习 2009年7月6日星期一 1 目录○ 上页) 下页 、返回
2009年7月6日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第五节 隐函数的求导公式 第七章 (Derivation of Implicit Function) 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结与思考练习
本节讨论： 1)方程在什么条件下才能确定隐函数· 例如方程x2+√少+C=0 当C0时，不能确定隐函数； 2)在方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微性 及求导方法问题. 2009年7月6日星期一 2 目录 (上页今下页 、返回
2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回 本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 0 2 Cyx =++ 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时 , 研究其连续性、可微性 及求导方法问题
一、一个方程的情形 定理1 设函数F(x,y)在点P(xo,yO)的某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数； ②F(x0,y0)=0; ③F,(x0,0)≠0 则方程F(x,y)=0在点x的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=f(x),满足条件y0=f(xo),并有连续 导数 dy F ·(隐函数求导公式) dx 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回 一、一个方程的情形 定理1 设函数 ),( 00 xF y),( P x y ;0),(xF y00 = 则方程 0 = 0),( 在点xyxF 单值连续函数 y = f (x) , ,)( 00 y = f x 并有连续 y x F F x y −= d d 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： (隐函数求导公式 ) ① 具有连续的偏导数; 在点 的某一邻域内满足 的某邻域 内可唯一确定一个 0),( Fy yx 00 ≠ ② ③ 满足条件 导数
设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,f(x)≡0 |两边对x求导 OF oFdy=0 Ox ay dx 在(x0,0)的某邻域内F,≠0 dy F dx 2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回 F x f x ≡ 0))(,( 两边对 x 求导 0 d d ≡ ∂ ∂ + ∂ ∂ x y y F x F y x F F x y −= d d ≠ 0 Fy 设 = 为方程 yxFxfy = 0),()( 所确定的隐函数 , 在 ),( 00 x y 的某邻域内 则
例1验证方程siny+e-xy=1在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数y=∫(x),并求 dy d2y dxx=0’dx2x=0 (补充题) 解：令F(x,y)=siny+e*-xy-1,则 ①F=e-y,Fv=cosy-x连续， ②F(0,0)=0, ③F(0,0)=1≠0 由定理1可知，在x=0的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数y=f(x),且 2009年7月6日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 5 目录 上页 下页 返回 sin 1 x y e xy + − = 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 y = f x ,)( d 0 d , d 0 d 2 2 = x x = y x x y 解 : 令 sin),( yxeyyxF −−+= ,1 x 并求 例1 验证方程 （补充题） F = ,0)0,0( yeF , x x −= 连续 , 由 定理1 可知, =1)0,0( Fy ≠ 0 ① 导的隐函数 y = f x ,)( 则 F xy y = cos − ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且
dy F ex-y =-1 dxx=0Fx=0-cosy-x x=0.y=0 d2y dx2 x=0 &k-y-y _(e*-y)(cosy-x)-(e*-y)(-siny.y'-1) x=0 (cosy-x)2 y=0 y'=-1 =-3 2009年7月6日星期一 6 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 6 目录 上页 下页 返回 d 0 d x x = y = 0 −= F x F y x −= = − 1 cos − xy yex − yx == 0,0 d 0 d 2 2 x x = y ) cos ( d d xy ye x x − − −= 2 − xy )cos( −= = − 3 1 0 0 ′ −== = y y x ye )( x − ′ y − x)(cos ye )( x −− − ⋅ yy ′ − )1sin( == yyx ′ −= 1,0,0
导数的另一求法一利用隐函数求导 siny+e*-xy-1=0,y=y(x) 两边对x求导 x=0 ex-y cosy.y'+e*-y-xy'=0 c0sy-x(0,0) 两边再对X求导 =-1 -siny.(y)2+cosy.y"+e*-y'-y'-xy"=0 令x=0,注意此时y=0,y=-1 d2y dr2x=0=-3 (自行练习课本例1) 2009年7月6日星期一 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 7 目录 上页 下页 返回 = 0 ′ x y 3 d 0 d 2 2 −= x x = y sin xyyyxey )(,01 x ==−−+ cos ⋅ yy ′ 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 = − 1 ⋅− ′ cos)(sin ⋅+ yyyy ′′ 2 令 x = 0 , 注意此时 = yy ′ = −1,0 −+ ′ − ′ − yxyye ′′ = 0 x x + e − y − x y′ = 0 cos xy )0,0( yex − − −= 导数的另一求法 — 利用隐函数求导 （自行练习课本 例 1 ）
定理2 若函数F(x,y,z)满足： ①在，点P(x0,0,20)的某邻域内具有连续偏导数， ②F(x,0,0)=0 ③F(,0,20)≠0 则方程F(x,y,)=0在点(x0,y0)某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数z=f(x,y),满足0=∫(x0,y0), 并有连续偏导数 Oz Fx dz Fy OxF’ 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 2009年7月6日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 8 目录 上页 下页 返回 若函数 ),( 000 P x y z F x y z),( z y z x F F y z F F x z −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ , 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 F x y z = 0),( 在点 ),( 00 x y 并有连续偏导数 ,),( 000 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 z = f x y 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 0),( F x y z000 = 0),( Fz x y z000 ≠ ① 在点 定理 2 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确
设z=f(x,y)是方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,y,f(x,y))≡0 两边对x求偏导 Fx+F O =0 8x 在(x00,20)的某邻域内F:≠0 0z 8x F 0z F 同样可得 二 ay F 2009年7月6日星期一 9 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 9 目录 上页 下页 返回 F x y f x y ≡ 0)),(,( 两边对 x 求偏导 Fx z x F F x z −= ∂ ∂ z y F F y z −= ∂ ∂ 同样可得 设 = 是方程 yxFyxfz = 0),(),( 所确定的隐函数 , 则 + Fz x z ∂ ∂ ≡ 0 ),( 0 在 zyx 000 的某邻域内 Fz ≠
例2设x2+y2+z2-4z=0,求 2: (补充题) 解法1利用隐函数求导 Ox2 2x+2:8-4=0— 0z ax Ox 8x 2-z 再对x求导 2+2 +2 &r2 4 =0 8x (2-2)2+x2 Ox2 2-2 (2-z)3 2009年7月6日星期一 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 10 目录 上页 下页 返回 ,04 222 zzyx =−++ 解法 1 利用隐函数求导 = 0422 ∂ ∂ − ∂ ∂ + x z x z zx x z z − = ∂ ∂ 2 2 2 z x x z − = ∂ ∂ 2 2 + 2)(2 x z ∂ ∂ 2 2 2 x z z ∂ ∂ + 04 2 2 = ∂ ∂ − x z 2)(1 x z ∂ ∂ + 3 22 )2( )2( z xz − +− = . 2 2 x z ∂ ∂ 例2 设 求 （补充题） 再对 x 求导