第乌章向量代数与空间解折儿何 Vector Algebra Space Analytic Geometry 第一部分向量代数 第二部分！ 空间解析几何 在三维空间中： 空间形式一点，线，面 1川 数量关系一 坐标，方程（组） 基本方法一 坐标法；向量法 2009年7月3日星期五 2 目录 、上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 第六章 向量代数与空间解析几何 （Vector Algebra & Space Analytic Geometry ） 数量关系 — 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组）
主要内容 第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积向量积*混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 主要内容 第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 *混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程
第六章 第一节 向量及其线性运算 (Vector and Its Linear Operation) 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 第一节 向量及其线性运算 第六章 （Vector and Its Linear Operation ） 四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影
一、向量的概念(Concept of Vector) 向量：既有大小，又有方向的量称为向量（又称矢量） 表示法：有向线段MM2,或a,或a. 向量的模：向量的大小，记作M1M2,或a,或a: 向径（矢径）：起点为原点的向量 自由向量：与起点无关的向量 M2/ 单位向量：模为1的向量，记作d°或a°. M 零向量：模为0的向量，记作0，或0. 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 一、向量的概念 (Concept of Vector) 表示法: 或 a . 向量的模 : 向量的大小, , 记作 MM 21 向量: (又称矢量). M 1 M 2 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, . G DD 记作 a 或 a 零向量: 模为 0 的向量, 记作 或， 0 .0G 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a , 或 a
若向量a与b大小相等，方向相同，则称a与b相等， 记作a=b; 若向量a与b方向相同或相反，则称a与b平行，记作 ā∥b；规定：零向量与任何向量平行； 与ā的模相同，但方向相反的向量称为ā的负向量， 记作-d; 因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称 两向量共线 若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上，则称此k 个向量共面 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a ＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a ∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k ( ≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－ a ;
二、向量的线性运算(Vector's Linear Operation) 1.向量的加法 平行四边形法则： (a+B)+c a+6 a+(b+c) a 立+6 b 三角形法则： a a 运算规律：交换律 a+b-b+a 结合律(a+b)+c=a+(b+)=d+b+c 三角形法则可推广到多个向量相加 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 平行四边形法则: 三角形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . b b + = + abba + )( + cba = + + cba )( = + + cba a b c + ba + cb + + cba )( + )( + cba a a + ba + ba （Vector’s Linear Operation ）
s-aj+a2 +a3+as+as as a2 2009年7月3日星期五 8 目录 (上页今 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 s 3 a 4 a 5 a 2 a 1 a 54321 s = + + + + aaaaa
2.向量的减法 b-a-b+(-a) b b-a 特别当b=a时，有 a-a=a+(-a)-0 a 三角不等式 a+b≤d+b a-bs a+b 2009年7月3日星期五 9 目录○ 上页下页 、返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 三角不等式 − ab = + −ab )( 特别当 = ab ,有时 − aa = + −aa )( + ≤ + baba − ab a b − ab − a = 0 − ≤ + baba 2. 向量的减法
3.向量与数的乘法 )是一个数，入与d的乘积是一个新向量，记作九d. 规定：>0时，入a与a同向，d=2d; 2<0时，a与d反向，2d=-a; 九=0时，a=0. 总之： xa =aa 运算律：结合律(ud)=u(2d)=ud 分配律(+)a=九d+ud 2(ā+b)=元ā+b 若a#0,则有单位向堂d-可a因此a=ad 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 aaG G λ = λ λ 是一个数 , a . G λ 规定 : λ > 0 时， 与aa 同向， G G λ λ < 时,0 λ = 时,0 .0 G G λ a = aa ; G G λ = λ aa ;1 G G = 可见 aa ;1 G G − = − aa ; G G λ = − λ λ 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 与aa 反向， G G λ 总之: 运算律 : 结合律 a)( G λ μ a)( G = μ λ a G = λ μ 分配律 a G λ+ μ)( aaG G = λ + μ ba )( G G λ + ba G G = λ + λ ,0 G G 若 a ≠ = G D 则有单位向量 a . 1 a a G G 因此 G G G D = aaa 3. 向量与数的乘法
定理1设a为非零向量，则 aW6三b=1a(?为唯一实数) 证：“一设a/6取入=±d,a,6同向时 取正号，反向时取负号，则b与入同向，且 d-小 故b=a. 再证数入的唯一性.设叉有=ua,则(2-)a=0 而a≠0，故2-4=0，即2=4. 2009年7月3日星期五 11 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 11 目录 上页 下页 返回 设 a 为非零向量 , 则 ( λ 为唯一实数 ) 证 : “ ”. , 取 λ＝± 且 再证数 λ 的唯一性 . 则 故 λ − μ = ,0 即 λ = μ . a ∥ b = λ ab 设 a ∥ b b a 取正号, 反向时取负号, , a , b 同向时 则 b 与 λ a 同向, 设又有 b ＝ μ a , λ − μ a = 0)( λ a = λ a = b a a = b 故 = λ ab . 而 a ≠ ,0 定理1